Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede explicitamente: calcular a derivada de
em relação a
, ou seja encontrar
. As informações relevantes são apenas a expressão de
e que a variável independente é
.
Passo 2
Vou usar duas maneiras que são muito úteis para esse tipo de função: (A) a regra do quociente, que é direta para frações, e (B) uma reescrita algébrica seguida da regra da cadeia, que costuma simplificar os cálculos. Ambas dão o mesmo resultado; aqui mostro as duas para você aprender as duas técnicas.
Regra do quociente (enunciada): se
com
e
diferenciáveis e
, então
Na nossa função tomamos
Passo 3
Calculemos
e
. Essas são derivadas simples de potências:
Expliquei: a derivada de
é
(regra da potência) e a derivada de uma constante (
) é
.
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Agora fatoramos
no numerador:
Simplificando dentro dos colchetes:
Passo 5
Agora mostro o método alternativo (muitas vezes mais rápido): reescrevemos a função usando divisão:
Explicação do passo algébrico:
, então
.
Passo 6
Derivando a expressão reescrita usando a regra da cadeia para
:
Aqui apliquei: se
então
. Simplificando:
Viu? Dá exatamente o mesmo resultado que pelo quociente.
Passo 7
Resumo didático e dica para prova: para frações em que numerador e denominador têm estrutura parecida (=mesma potência), a reescrita em
algo costuma simplificar muito (evita a aplicação direta da regra do quociente). Mas a regra do quociente é sempre um método seguro. Pronto: derivada encontrada, com dois caminhos que você pode escolher conforme a situação.