Calcule a derivada de:
G(v)=\frac{v^{3}-1}{v^{3}+1}

Passo 1

O enunciado dá a função
G(v)=\frac{v^{3}-1}{v^{3}+1}
e pede explicitamente: calcular a derivada de G em relação a v, ou seja encontrar G'(v). As informações relevantes são apenas a expressão de G(v) e que a variável independente é v.

Passo 2

Vou usar duas maneiras que são muito úteis para esse tipo de função: (A) a regra do quociente, que é direta para frações, e (B) uma reescrita algébrica seguida da regra da cadeia, que costuma simplificar os cálculos. Ambas dão o mesmo resultado; aqui mostro as duas para você aprender as duas técnicas.
Regra do quociente (enunciada): se H(v)=\dfrac{u(v)}{w(v)} com u e w diferenciáveis e w(v)\neq0, então
H'(v)=\frac{u'(v)\,w(v)-u(v)\,w'(v)}{[w(v)]^{2}}.
Na nossa função tomamos
u(v)=v^{3}-1,\qquad w(v)=v^{3}+1.

Passo 3

Calculemos u'(v) e w'(v). Essas são derivadas simples de potências:
u'(v)=\frac{d}{dv}\bigl(v^{3}-1\bigr)=3v^{2}, \qquad w'(v)=\frac{d}{dv}\bigl(v^{3}+1\bigr)=3v^{2}.
Expliquei: a derivada de v^{3} é 3v^{2} (regra da potência) e a derivada de uma constante ( \pm1) é 0.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
G'(v)=\frac{u'(v)w(v)-u(v)w'(v)}{[w(v)]^{2}} =\frac{3v^{2}\,(v^{3}+1)-(v^{3}-1)\,3v^{2}}{(v^{3}+1)^{2}}.
Agora fatoramos 3v^{2} no numerador:
G'(v)=\frac{3v^{2}\bigl[(v^{3}+1)-(v^{3}-1)\bigr]}{(v^{3}+1)^{2}} =\frac{3v^{2}\bigl(v^{3}+1-v^{3}+1\bigr)}{(v^{3}+1)^{2}}.
Simplificando dentro dos colchetes:
G'(v)=\frac{3v^{2}\cdot 2}{(v^{3}+1)^{2}}=\frac{6v^{2}}{(v^{3}+1)^{2}}.

Passo 5

Agora mostro o método alternativo (muitas vezes mais rápido): reescrevemos a função usando divisão:
G(v)=\frac{v^{3}-1}{v^{3}+1}=1-\frac{2}{v^{3}+1}.
Explicação do passo algébrico: v^{3}-1=(v^{3}+1)-2, então \dfrac{v^{3}-1}{v^{3}+1}=1-\dfrac{2}{v^{3}+1}.

Passo 6

Derivando a expressão reescrita usando a regra da cadeia para (v^{3}+1)^{-1}:
G'(v)=0-2\cdot\frac{d}{dv}\bigl(v^{3}+1\bigr)^{-1} =-2\cdot\bigl(-1\bigr)(v^{3}+1)^{-2}\cdot 3v^{2}.
Aqui apliquei: se h(v)=(\varphi(v))^{-1} então h'(v)=-1\cdot(\varphi(v))^{-2}\cdot\varphi'(v). Simplificando:
G'(v)=2\cdot 3v^{2}\cdot (v^{3}+1)^{-2}=\frac{6v^{2}}{(v^{3}+1)^{2}}.
Viu? Dá exatamente o mesmo resultado que pelo quociente.

Passo 7

Resumo didático e dica para prova: para frações em que numerador e denominador têm estrutura parecida (=mesma potência), a reescrita em 1- algo costuma simplificar muito (evita a aplicação direta da regra do quociente). Mas a regra do quociente é sempre um método seguro. Pronto: derivada encontrada, com dois caminhos que você pode escolher conforme a situação.

Resposta

G'(v)=\frac{6v^{2}}{(v^{3}+1)^{2}}

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