Resolva a equação D_{x} y=0.
y=\frac{2 x^{2}+3 x-6}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação D_{x}y=0 para a função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é \displaystyle y=\frac{2x^{2}+3x-6}{x-2}.
    A tarefa é encontrar todos os valores de x (no domínio da função) tais que a derivada de y em relação a x seja zero.

Passo 2

O que significa D_{x}y=0?
  • D_{x}y é a derivada de y em relação a x, ou seja y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Resolver D_{x}y=0 significa encontrar os pontos críticos onde a inclinação da curva é zero (derivada nula).
    Antes de derivar, verifico o domínio: o denominador x-2 não pode ser zero, então x\neq2.

Passo 3

Vou simplificar a expressão de y através de divisão de polinômios (isso deixa a derivada mais simples de calcular). Divido 2x^{2}+3x-6 por x-2:
\begin{array}{r|l} x-2 & 2x^{2}+3x-6 \\\ \hline & 2x+7 \\\ & \underline{2x^{2}-4x} \\\ & \quad 7x-6 \\\ & \underline{7x-14} \\\ & \quad\quad 8 \end{array}
Logo,
\frac{2x^{2}+3x-6}{x-2}=2x+7+\frac{8}{x-2}.

Passo 4

Agora calculo a derivada de y usando regras básicas:
  • Regra da soma: \dfrac{d}{dx}(f+g)=f'+g'.
  • Derivada de 2x é 2.
  • Derivada da constante 7 é 0.
  • Para \dfrac{8}{x-2}, escrevo \dfrac{8}{x-2}=8(x-2)^{-1} e aplico a regra da potência e a regra da cadeia: \frac{d}{dx}\bigl(8(x-2)^{-1}\bigr)=8\cdot(-1)(x-2)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(x-2)= -8(x-2)^{-2}.
Portanto
y' = 2 - \frac{8}{(x-2)^{2}}.

Passo 5

Resolvo a equação y'=0:
2-\frac{8}{(x-2)^{2}}=0.
Isolo a fração:
2=\frac{8}{(x-2)^{2}}.
Multiplico ambos os lados por (x-2)^{2}:
2(x-2)^{2}=8.
Divido por 2:
(x-2)^{2}=4.
Tiro raiz quadrada (lembrando os dois sinais):
x-2=\pm 2.
Assim
x=2\pm2 \quad\Rightarrow\quad x=4 \\ \text{ou}\\ x=0.

Passo 6

Verifico as restrições de domínio: x\neq2. As soluções x=0 e x=4 são válidas (não coincidem com 2). Como checagem rápida, poderia também ter usado a regra do quociente diretamente; esse cálculo leva ao mesmo resultado (derivada proporcional a 2x(x-4)/(x-2)^2, que zera em x=0,4).

Resposta

x=0
x=4

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