Calcule a derivada de f(x)=\ln \left(2 x^{2}+5\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\ln\bigl(2x^{2}+5\bigr). O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia, pois temos uma composição de \ln(u) com u(x)=2x^{2}+5.

Passo 2

Para derivar uma função do tipo f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr), usamos
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Isso vem do fato de que a derivada de \ln(u) em relação a u é 1/u, multiplicada pela derivada interna u'(x).

Passo 3

Aqui a parte interna é
u(x)=2x^{2}+5,
cuja derivada é
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{2}+5\bigr)=4x.

Passo 4

Substituindo na regra da cadeia, obtemos
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{4x}{2x^{2}+5}.

Resposta

f'(x)=\frac{4x}{2x^{2}+5}.

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