Determine a derivada de f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de
f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}}
O conteúdo envolvido é derivação de funções envolvendo logaritmo e potência. Para resolver, vamos reescrever f como um produto e aplicar a regra do produto, usando a derivada de \ln x e a regra de potência.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=\ln(x)\cdot x^{-2}.

Passo 3

Definimos
u(x)=\ln(x),\quad v(x)=x^{-2}.
Suas derivadas são
u'(x)=\frac{1}{x}, \qquad v'(x)=-2\,x^{-3}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto f'=u'v+u\,v', obtemos
f'(x) =\frac{1}{x}\,x^{-2}+\ln(x)\,(-2\,x^{-3}) =x^{-3}-2\,x^{-3}\ln(x) =x^{-3}\bigl(1-2\ln(x)\bigr).

Resposta

f'(x)=\frac{1-2\ln(x)}{x^{3}}.

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