Cálcule a derivada
f(x)=x ln 5 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f(x)=xln(5x). O conteúdo envolvido é derivada de um produto de funções e vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas de logaritmo.

Passo 2

Para usar a regra do produto, identificamos duas funções: u(x)=x e v(x)=ln(5x). A regra do produto diz que a derivada é f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas individuais: u'(x)=1. Para v(x)=ln(5x), aplicamos a regra da cadeia: a derivada de ln(5x) é v'(x)=15xcdot5=1x.

Passo 4

Substituindo na regra do produto obtemos: f'(x)=1cdotln(5x)+xcdot1x=ln(5x)+1.

Passo 5

Opcionalmente, podemos usar ln(5x)=ln5+ln x para escrever f'(x)=1+ln5+ln x, mas a forma mais direta é ln(5x)+1.

Resposta

f'(x)=ln(5x)+1

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