Determine se cada afirmação a seguir é falsa ou verdadeira. Justifique. (Atribuição de V ou F sem justificativa não será pontuada)
( )
é ponto crítico de
( )
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a afirmação "
é ponto crítico de
" é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos e calcular a derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Em cálculo, um ponto crítico de uma função é onde a derivada da função é zero ou onde a derivada não existe. Então, para saber se
é um ponto crítico, precisamos calcular a derivada de
e ver o que acontece nela quando
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de
é
, onde
.
Então,
Passo 4
Agora, vamos analisar o denominador da derivada:
. Isso pode ser fatorado como
. Então,
Passo 5
Vamos verificar o que acontece quando
:
- O numerador:
- O denominador:
Então, em
, a derivada fica
, o que é indeterminado. Isso significa que a derivada não existe nesse ponto.
Passo 6
Mas tem mais! Precisamos ver se
está no domínio da função
. O argumento do logaritmo,
, precisa ser maior que zero:
Isso é verdade para todo
exceto
. Ou seja,
não está no domínio da função.
Resposta
Falso. O ponto
não está no domínio de
, portanto não pode ser considerado um ponto crítico.