Determine se cada afirmação a seguir é falsa ou verdadeira. Justifique. (Atribuição de V ou F sem justificativa não será pontuada)
( ) x=1 é ponto crítico de f(x)=ln (x^2-2 x+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a afirmação " x=1 é ponto crítico de f(x)=ln (x^2-2 x+1)" é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos e calcular a derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Em cálculo, um ponto crítico de uma função é onde a derivada da função é zero ou onde a derivada não existe. Então, para saber se x=1 é um ponto crítico, precisamos calcular a derivada de f(x) e ver o que acontece nela quando x=1.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f(x) = ln(x^2 - 2x + 1). Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de ln(u) é u'u, onde u = x^2 - 2x + 1.
Então,
f'(x) = ddx[ln(x^2 - 2x + 1)] = 2x - 2x^2 - 2x + 1

Passo 4

Agora, vamos analisar o denominador da derivada: x^2 - 2x + 1. Isso pode ser fatorado como (x-1)^2. Então,
f'(x) = 2x - 2(x-1)^2

Passo 5

Vamos verificar o que acontece quando x=1:
  • O numerador: 2(1) - 2 = 0
  • O denominador: (1-1)^2 = 0
Então, em x=1, a derivada fica 00, o que é indeterminado. Isso significa que a derivada não existe nesse ponto.

Passo 6

Mas tem mais! Precisamos ver se x=1 está no domínio da função f(x). O argumento do logaritmo, x^2 - 2x + 1, precisa ser maior que zero:
x^2 - 2x + 1 > 0 implies (x-1)^2 > 0
Isso é verdade para todo x exceto x=1. Ou seja, x=1 não está no domínio da função.

Resposta

Falso. O ponto x=1 não está no domínio de f(x), portanto não pode ser considerado um ponto crítico.

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