Calcule a derivada de f(x), e em seguida, encontre a reta tangente à função no ponto dado:
f(x)=\frac{4 x^{2}}{x+1}, \mathrm{em}(1,2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{4x^{2}}{x+1}
e, em seguida, a reta tangente a f no ponto (1,2). O conteúdo de matéria que vamos usar é a regra do quociente para derivação e a fórmula da equação da reta tangente:
y - f(x_{0}) = f'(x_{0})\,(x - x_{0}).

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente: se f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=4x^{2} e v(x)=x+1, logo u'(x)=8x e v'(x)=1. Portanto
f'(x) =\frac{8x\,(x+1)-4x^{2}\cdot1}{(x+1)^{2}} =\frac{8x(x+1)-4x^{2}}{(x+1)^{2}}.

Passo 3

Agora simplificamos o numerador:
8x(x+1)-4x^{2} =8x^{2}+8x-4x^{2} =4x^{2}+8x =4x(x+2).
Logo
f'(x)=\frac{4x(x+2)}{(x+1)^{2}}.

Passo 4

Para achar o coeficiente angular no ponto x_{0}=1, calculamos
f'(1) =\frac{4\cdot1\,(1+2)}{(1+1)^{2}} =\frac{12}{4} =3.

Passo 5

A equação da reta tangente em (x_{0},f(x_{0}))=(1,2) é
y - 2 = 3\,(x - 1).
Isolando y, obtemos
y = 3x -3 +2 =3x -1.

Resposta

f'(x)=\displaystyle\frac{4x(x+2)}{(x+1)^{2}}
A reta tangente em (1,2) é y=3x-1.

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