Calcule a derivada de f(x), e em seguida, encontre a reta tangente à função no ponto dado:
f(x)=(e)^{e^{x}}\\, em \((0, e))

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^{\,e^{x}}
e pede (1) a derivada f'(x) e (2) a equação da reta tangente no ponto \bigl(0,e\bigr). Para isso vamos usar a regra da cadeia, que diz que, se f(x)=\exp(g(x)), então
f'(x)=\exp\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).

Passo 2

Aqui temos g(x)=e^{x}, cuja derivada é g'(x)=e^{x}. Aplicando a regra da cadeia,
f'(x) =\exp\bigl(e^{x}\bigr)\cdot e^{x} =e^{\,e^{x}}\;e^{x}.

Passo 3

Para achar o coeficiente angular da tangente no ponto x=0, calculamos
f'(0)=e^{\,e^{0}}\;e^{0} =e^{1}\cdot1 =e.

Passo 4

A reta tangente em \bigl(0,e\bigr) tem forma
y - f(0)=f'(0)\,(x-0).
Como f(0)=e e f'(0)=e, vem
y - e = e\,x \quad\Longrightarrow\quad y = e\,x + e.

Resposta

A derivada é
f'(x)=e^{\,e^{x}}\;e^{x}
e a reta tangente em (0,e) é
y = e\,x + e.

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