( 0,5 pts) Calcule \frac{d y}{d x} onde y é definido pela equação da curva
\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)=y-x
e em seguida calcule a reta tangente à curva no ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado define uma curva implícita por
\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=y - x
e pede primeiro \frac{dy}{dx} usando derivação implícita, depois a reta tangente no ponto (0,0). Vamos usar regra da cadeia na derivada de \operatorname{sen} e depois isolar y'.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\Bigl[\operatorname{sen}(x^{2}+y^{2})\Bigr] = \frac{d}{dx}[\,y - x\,].
Pela regra da cadeia,
\cos(x^{2}+y^{2})\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}+y^{2}) \;=\; y' - 1,
e como \frac{d}{dx}(x^{2}+y^{2}) = 2x + 2y\,y', obtemos
\cos(x^{2}+y^{2})\,(2x + 2y\,y') = y' - 1.

Passo 3

Agora agrupamos os termos com y':
2x\cos(x^{2}+y^{2}) + 2y\,y'\cos(x^{2}+y^{2}) = y' - 1.
Passamos todos os y' para um lado:
2y\,\cos(x^{2}+y^{2})\,y' - y' = -1 -2x\cos(x^{2}+y^{2}).
Fatorando y':
y'\,\bigl(2y\cos(x^{2}+y^{2}) - 1\bigr) = -1 - 2x\cos(x^{2}+y^{2}).
Logo,
\frac{dy}{dx} = y' = \frac{-1 \;-\; 2x\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{2y\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) - 1}.

Passo 4

Para a reta tangente em (0,0), calculamos o coeficiente angular m = y' nesse ponto. Em x=0, y=0 temos \cos(0^{2}+0^{2})=1. Então
m = \frac{-1 - 2\cdot 0\cdot 1}{2\cdot 0\cdot 1 - 1} = \frac{-1}{-1} = 1.

Passo 5

A equação da reta tangente em (x_{0},y_{0})=(0,0) com coeficiente m=1 é
y - 0 = 1\,(x - 0),
ou seja
y = x.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{-1 - 2x\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{2y\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) - 1}, \qquad \text{reta tangente em }(0,0)\colon y = x.

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