( 0,5 pts) Calcule
onde
é definido pela equação da curva
e em seguida calcule a reta tangente à curva no ponto
.
Passo 1
O enunciado define uma curva implícita por
e pede primeiro
usando derivação implícita, depois a reta tangente no ponto
. Vamos usar regra da cadeia na derivada de
e depois isolar
.
Passo 2
Derivando ambos os lados em relação a
:
Pela regra da cadeia,
e como
, obtemos
Passo 3
Agora agrupamos os termos com
:
Passamos todos os
para um lado:
Fatorando
:
Logo,
Passo 4
Para a reta tangente em
, calculamos o coeficiente angular
nesse ponto. Em
,
temos
. Então
Passo 5
A equação da reta tangente em
com coeficiente
é
ou seja