Questāo 2: (2,5 pontos)

\lfloor 45 / 4\rceil
Seja o campo vetorial F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dado por F(x, y)=(-y, x). Seja c a curva dada por 4 x^{2}+y^{2}=4 orientada no sentido anti-horário. \rightarrow positivo
(a) ( 1,5 ponto) A partir da definição de integral de linha, calcule \oint_{c} F \cdot d r.
(b) (1,0 ponto) Utilizando o teorema de Green, calcule $\oint_{c} F \cdot d r.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{c}F\cdot d r
onde F(x,y)=(-y,x) e c é a elipse 4x^2+y^2=4 orientada no sentido anti-horário.
Para isso, no item (a) vamos aplicar diretamente a definição de integral de linha via parametrização e, no item (b), vamos usar o Teorema de Green.

Passo 2

Parametrizamos a elipse mantendo a orientação anti-horária. Note que
\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}=1
é uma elipse com semi-eixos a=1 e b=2. Tomamos
\begin{cases} x(t)=\cos t,\\\ y(t)=2\sin t, \end{cases} \quad t\in[0,2\pi].
Então
dx=-\sin t\,dt, \quad dy=2\cos t\,dt.
Em seguida,
F(x(t),y(t)) = \bigl(-2\sin t,\;\cos t\bigr),
e
F\cdot dr = (-2\sin t)(dx) + (\cos t)(dy) = (-2\sin t)(-\,\sin t\,dt) + (\cos t)(2\cos t\,dt) = 2\bigl(\sin^2t+\cos^2t\bigr)dt =2\,dt.
Logo,
\oint_{c}F\cdot dr = \int_{0}^{2\pi}2\,dt =4\pi.

Passo 3

Pelo Teorema de Green, para P(x,y)=-y e Q(x,y)=x, tem-se
\oint_{c}P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dA.
Aqui
\frac{\partial Q}{\partial x}=1, \quad \frac{\partial P}{\partial y}=-1,
portanto
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =1-(-1)=2.
O domínio D é o interior da elipse de área \pi ab=\pi\cdot1\cdot2=2\pi. Assim,
\oint_{c}F\cdot dr = \iint_{D}2\,dA =2\cdot\bigl(\text{área de }D\bigr) =2\cdot2\pi =4\pi.á

Resposta

(a) \displaystyle 4\pi
(b) \displaystyle 4\pi

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