Questāo 2: (2,5 pontos)
Seja o campo vetorial
dado por
. Seja
a curva dada por
orientada no sentido anti-horário.
positivo
(a) ( 1,5 ponto) A partir da definição de integral de linha, calcule
.
(b) (1,0 ponto) Utilizando o teorema de Green, calcule $\oint_{c} F \cdot d r.
(a) ( 1,5 ponto) A partir da definição de integral de linha, calcule
(b) (1,0 ponto) Utilizando o teorema de Green, calcule $\oint_{c} F \cdot d r.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e
é a elipse
orientada no sentido anti-horário.
Para isso, no item (a) vamos aplicar diretamente a definição de integral de linha via parametrização e, no item (b), vamos usar o Teorema de Green.
Para isso, no item (a) vamos aplicar diretamente a definição de integral de linha via parametrização e, no item (b), vamos usar o Teorema de Green.
Passo 2
Parametrizamos a elipse mantendo a orientação anti-horária. Note que
é uma elipse com semi-eixos
e
. Tomamos
Então
Em seguida,
e
Logo,
Passo 3
Pelo Teorema de Green, para
e
, tem-se
Aqui
portanto
O domínio
é o interior da elipse de área
. Assim,
Resposta
(a)
(b)
(b)