( 0,3 \mathrm{pts} ) Verifique a continuidade e a diferenciabilidade da função abaixo em x=0.
f(x)=\left\{\begin{array}{cl} x^{2} \cdot \operatorname{sen}\left(|x|^{x}\right)+1 & , \text { se } x \neq 0 \\\\ 1 & , \text { se } x=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}\,\sin\bigl(\lvert x\rvert^{x}\bigr)+1,&x\neq0,\\\\ 1,&x=0, \end{cases}
e pede para verificar a continuidade e a diferenciabilidade em x=0. Para isso vamos usar limites (continuidade) e a definição de derivada em 0.

Passo 2

Para testar a continuidade em 0 calculamos
\lim_{x\to0}f(x) =\lim_{x\to0}\bigl[x^{2}\,\sin\bigl(\lvert x\rvert^{x}\bigr)+1\bigr] =1+\lim_{x\to0}x^{2}\,\sin\bigl(\lvert x\rvert^{x}\bigr).
Como \sin\bigl(\lvert x\rvert^{x}\bigr) é sempre limitado entre -1 e 1, temos
\bigl\lvert x^{2}\,\sin\bigl(\lvert x\rvert^{x}\bigr)\bigr\rvert \le x^{2}\xrightarrow{x\to0}0.
Logo
\lim_{x\to0}f(x)=1=f(0).

Passo 3

Como \lim_{x\to0}f(x)=f(0), a função é contínua em x=0.

Passo 4

Para a diferenciabilidade em 0 usamos a definição
f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\,\sin\bigl(\lvert x\rvert^{x}\bigr)+1-1}{x} =\lim_{x\to0}x\,\sin\bigl(\lvert x\rvert^{x}\bigr).
De novo \sin(\cdot) é limitado, então
\bigl\lvert x\,\sin\bigl(\lvert x\rvert^{x}\bigr)\bigr\rvert\le\lvert x\rvert \xrightarrow{x\to0}0.
Logo f'(0)=0 existe.

Resposta

A função é contínua e diferenciável em x=0, e
f'(0)=0.

Exercícios relacionados