( 0,3 \mathrm{pts} ) Verifique a continuidade e a diferenciabilidade da função abaixo em x=0.
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x^{2} \cdot \operatorname{sen}\left[\ln \left(5^{x}\right)\right] & , \text { se } x \neq 0 \\\\ 0 & , \text { se } x=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}\,\operatorname{sen}\bigl[\ln\bigl(5^{x}\bigr)\bigr],&x\neq 0,\\\\ 0,&x=0, \end{cases}
e pede para verificar continuidade e diferenciabilidade em x=0. Vamos usar limites e a definição de derivada.

Passo 2

Para estudar a continuidade, calculamos
\lim_{x\to 0}f(x) =\lim_{x\to 0}x^{2}\,\operatorname{sen}\bigl[\ln\bigl(5^{x}\bigr)\bigr].
Note que \ln(5^{x})=x\ln 5, então
f(x)=x^{2}\,\operatorname{sen}\bigl(x\ln 5\bigr).
Como \bigl|\operatorname{sen}(x\ln5)\bigr|\le 1, vale
\bigl|f(x)\bigr|\le x^{2}\quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to0}f(x)=0.
Como f(0)=0, segue que f é contínua em x=0.

Passo 3

Para a diferenciabilidade em 0, usamos a definição
f'(0) =\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\,\operatorname{sen}(x\ln5)}{x} =\lim_{x\to0}x\,\operatorname{sen}(x\ln5).
Novamente \operatorname{sen}(x\ln5) é limitado, e para x\to0 temos \operatorname{sen}(x\ln5)\sim x\ln5, logo
x\,\operatorname{sen}(x\ln5)\;\approx\;x\cdot(x\ln5)=x^{2}\ln5\;\longrightarrow\;0.
Portanto, f'(0)=0 existe, e f é diferenciável em x=0.

Resposta

A função é contínua e diferenciável em x=0, com f'(0)=0.

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