Calcule a derivada de f(x), e em seguida, encontre a reta tangente à função no ponto dado:
f(x)=\frac{x}{x-2}, \mathrm{em}(1,-1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\frac{x}{x-2} e a reta tangente em (1,-1). Para derivar usaremos a regra do quociente: se f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^2}.
Para a reta tangente, usaremos a fórmula
y - y_0 = m\,(x - x_0)
onde m=f'(x_0).

Passo 2

Aqui aplicamos a regra do quociente com u(x)=x e v(x)=x-2. Então u'(x)=1 e v'(x)=1. Logo
f'(x) =\frac{1\cdot(x-2)-x\cdot1}{(x-2)^2} =\frac{x-2-x}{(x-2)^2} =\frac{-2}{(x-2)^2}.

Passo 3

Para a reta tangente, avaliamos o coeficiente angular em x=1:
f'(1)=\frac{-2}{(1-2)^2}=\frac{-2}{1}=-2.

Passo 4

Montamos a reta usando y-y_0=m(x-x_0) com (x_0,y_0)=(1,-1) e m=-2:
y+1=-2(x-1) \quad\implies\quad y=-2x+2-1 \quad\implies\quad y=-2x+1.

Resposta

A derivada é
f'(x)=\frac{-2}{(x-2)^2}
e a reta tangente em (1,-1) é
y=-2x+1.

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