Calcule a derivada de f(x), e em seguida, encontre a reta tangente à função no ponto dado:
f(x)=e^{x} \operatorname{sen}(x), em (0,0)

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a derivada de f(x)=e^{x}\sin(x) — que é um produto de duas funções — e depois determinar a reta tangente a essa curva no ponto (0,0). Para isso vamos usar a regra do produto para derivar e a fórmula da reta tangente ao gráfico de uma função no ponto x_0:
y - y_0 = f'(x_0)\,(x - x_0)

Passo 2

Aplicando a regra do produto em f(x)=e^{x}\sin(x), temos
f'(x) = \bigl(e^{x}\bigr)'\sin(x) \;+\; e^{x}\bigl(\sin(x)\bigr)'.
Como \bigl(e^{x}\bigr)' = e^{x} e \bigl(\sin(x)\bigr)' = \cos(x), obtemos
f'(x) = e^{x}\sin(x) + e^{x}\cos(x) = e^{x}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr).

Passo 3

Agora calculamos o valor de f e de f' em x=0:
f(0) = e^{0}\sin(0) = 1\cdot 0 = 0,
f'(0) = e^{0}\bigl(\sin(0)+\cos(0)\bigr) = 1\cdot(0+1) = 1.
Logo o ponto dado (0,0) de fato pertence ao gráfico e a inclinação da tangente aí é m = f'(0) = 1.

Passo 4

Substituindo x_0=0, y_0=f(0)=0 e m=1 na fórmula da reta tangente, obtemos
y - 0 = 1\,(x - 0)
ou seja
y = x.

Resposta

A derivada é
f'(x) = e^{x}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr),
e a reta tangente no ponto (0,0) é
y = x.

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