Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial sobre a partícula que percorre a cirvuferencia no plano xy ( ) orientado na direção positiva (anti-horária)
Passo 1
O enunciado pede o trabalho de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada. O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, isto é, calcular . Para resolver vamos precisar: parametrizar a circunferência, calcular , avaliar na curva e então integrar o produto escalar.
Passo 2
A circunferência no plano orientada no sentido anti-horário pode ser parametrizada por
Passo 3
Agora calculamos o vetor diferencial
d r=l(x'(t),y'(t),z'(t)r),dt=l(-3sin t,,3cos t,,0r)dt
Passo 4
Em cada ponto da curva temos
F(x,y,0)=3cdot0, i+5x, j+7y, k=5x, j+7y, k
Substituindo a parametrização:
F(t)=5l(3cos tr) j+7l(3sin tr) k
Passo 5
O produto escalar Fcdot d r fica
F(t)cdot d r =l(0,5cdot3cos t,7cdot3sin tr)cdotl(-3sin t,3cos t,0r)dt =5cdot3cos tcdot3cos t,dt =45cos^2 t,dt
Portanto o trabalho é
W=integral0^2pi45cos^2 t,dt
Usando a identidade cos^2 t=tfrac12(1+cos2t) ou sabendo que integral0^2picos^2t,dt=pi, temos