Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial F(x, y, z)=3 z i+5 x j+7 y k sobre a partícula que percorre a cirvuferencia x^2+y^2=9 no plano xy ( z=0 ) orientado na direção positiva (anti-horária)

Passo 1

O enunciado pede o trabalho de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada. O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, isto é, calcular W=ointC Fcdot d r. Para resolver vamos precisar: parametrizar a circunferência, calcular d r, avaliar F na curva e então integrar o produto escalar.

Passo 2

A circunferência x^2+y^2=9 no plano z=0 orientada no sentido anti-horário pode ser parametrizada por
x(t)=3cos t y(t)=3sin t z(t)=0 tin[0,2pi]

Passo 3

Agora calculamos o vetor diferencial
d r=l(x'(t),y'(t),z'(t)r),dt=l(-3sin t,,3cos t,,0r)dt

Passo 4

Em cada ponto da curva temos
F(x,y,0)=3cdot0, i+5x, j+7y, k=5x, j+7y, k
Substituindo a parametrização:
F(t)=5l(3cos tr) j+7l(3sin tr) k

Passo 5

O produto escalar Fcdot d r fica
F(t)cdot d r =l(0,5cdot3cos t,7cdot3sin tr)cdotl(-3sin t,3cos t,0r)dt =5cdot3cos tcdot3cos t,dt =45cos^2 t,dt
Portanto o trabalho é
W=integral0^2pi45cos^2 t,dt
Usando a identidade cos^2 t=tfrac12(1+cos2t) ou sabendo que integral0^2picos^2t,dt=pi, temos
W=45cdotpi

Resposta

45pi

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