Seja
. Quais são os autovetores correspondentes?
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver esse exercício onde precisamos encontrar os autovetores da matriz
. Pra isso, vamos usar o conteúdo de autovalores e autovetores, que é super importante em álgebra linear. Primeiro, vamos achar os autovalores da matriz e depois, para cada autovalor, encontrar os respectivos autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. A gente faz isso resolvendo a equação característica, que é dada por:
Aqui,
representa os autovalores e
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois autovalores:
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Começando com
, substituímos na equação
:
Isso nos dá o sistema:
Da segunda equação, vemos que
. Então, podemos escolher
, o que dá
. Assim, um autovetor correspondente a
é:
Passo 6
Agora, vamos para
. Substituímos na equação
:
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação, temos
. Podemos escolher
, então
. Assim, um autovetor correspondente a
é:
Resposta
Os autovetores da matriz
são
e
.