Seja A = [[0, 2], [1, 1]]. Quais são os autovetores correspondentes?

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver esse exercício onde precisamos encontrar os autovetores da matriz . Pra isso, vamos usar o conteúdo de autovalores e autovetores, que é super importante em álgebra linear. Primeiro, vamos achar os autovalores da matriz e depois, para cada autovalor, encontrar os respectivos autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A. A gente faz isso resolvendo a equação característica, que é dada por:
Aqui, lambda representa os autovalores e I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois autovalores:

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Começando com , substituímos na equação :
Isso nos dá o sistema:
Da segunda equação, vemos que . Então, podemos escolher x = 1, o que dá . Assim, um autovetor correspondente a é:

Passo 6

Agora, vamos para . Substituímos na equação :
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação, temos . Podemos escolher , então . Assim, um autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovetores da matriz A são e .

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