Para a função
calcule:
o limite do quociente de Newton
no ponto
.
o limite do quociente de Newton
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite do quociente de Newton para a função $ f(x) = 3x^{2} + \frac{3}{x} $ no ponto $ x = 3 $. Isso faz parte do estudo de derivadas, onde usamos limites para encontrar a taxa de variação da função naquele ponto. Vamos precisar aplicar regras de limites e fazer umas manhas de álgebra para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o quociente de Newton para a função no ponto $ x = 3 $. O quociente é dado por:
Aqui, $ h $ é um valor pequeno que se aproxima de zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ f(3+h) $. Substituindo $ x $ por $ 3+h $ na função:
Passo 4
Em seguida, calculamos $ f(3) $. Substituindo $ x $ por $ 3 $ na função:
Passo 5
Vamos agora montar o numerador do quociente de Newton, que é $ f(3+h) - f(3) $:
Passo 6
Dividimos essa diferença por $ h $:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, expandimos $ (3+h)^{2} $:
Substituindo de volta:
Simplificamos os termos constantes:
Agora, separamos os termos:
Ao tomar o limite quando $ h $ tende a 0, os termos que têm $ h $ no denominador e numerador serão tratados:
Perceba que há uma inconsistência nos termos. Vamos refazer de forma mais cuidadosa:
Retornando ao passo anterior:
Para simplificar, vamos combinar os termos:
No entanto, para evitar termos que vão a infinito, devemos revisar os cálculos. Vamos simplificar diretamente:
Observamos que a expressão está se complicando. Uma melhor abordagem é calcular diretamente a derivada usando o limite:
Expandindo e simplificando adequadamente:
Então:
Agora, à medida que $ h $ tende a 0, os termos com $ h $ no numerador se anulam, deixando:
Observamos que isso não está simplificando corretamente. Na verdade, a forma mais eficiente é aplicar a definição direta da derivada:
Expandindo e simplificando:
Isso resulta em:
Ao substituir $ x = 3 $ e $ h \to 0 $:
Resposta
O limite do quociente de Newton no ponto $ x = 3 $ é $ \frac{53}{3} $.