Para a função f(x)=3 x^2+3x calcule:
o limite do quociente de Newton lim h 0 f(x+h)-f(x)h no ponto x=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite do quociente de Newton para a função $ f(x) = 3x^{2} + \frac{3}{x} $ no ponto $ x = 3 $. Isso faz parte do estudo de derivadas, onde usamos limites para encontrar a taxa de variação da função naquele ponto. Vamos precisar aplicar regras de limites e fazer umas manhas de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o quociente de Newton para a função no ponto $ x = 3 $. O quociente é dado por:
x = 3
Aqui, $ h $ é um valor pequeno que se aproxima de zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ f(3+h) $. Substituindo $ x $ por $ 3+h $ na função:
f(3+h)

Passo 4

Em seguida, calculamos $ f(3) $. Substituindo $ x $ por $ 3 $ na função:
f(3)

Passo 5

Vamos agora montar o numerador do quociente de Newton, que é $ f(3+h) - f(3) $:
f(3+h) - f(3)

Passo 6

Dividimos essa diferença por $ h $:
h

Passo 7

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, expandimos $ (3+h)^{2} $:
(3+h)^2
Substituindo de volta:
(3+h)^2 = 9 + 6h + h^2
Simplificamos os termos constantes:
3(9 + 6h + h^2) + 33+h - 28h = 27 + 18h + 3h^2 + 33+h - 28h
Agora, separamos os termos:
-1 + 18h + 3h^2 + 33+hh
Ao tomar o limite quando $ h $ tende a 0, os termos que têm $ h $ no denominador e numerador serão tratados:
-1h + 18 + 3h + 3h(3+h)
Perceba que há uma inconsistência nos termos. Vamos refazer de forma mais cuidadosa:
Retornando ao passo anterior:
h
Para simplificar, vamos combinar os termos:
h
No entanto, para evitar termos que vão a infinito, devemos revisar os cálculos. Vamos simplificar diretamente:
limh to 0 ( -1h + 18 + 3h + 3h(3+h) )
Observamos que a expressão está se complicando. Uma melhor abordagem é calcular diretamente a derivada usando o limite:
27 + 18h + 3h^2 + 33+h - 28h = -1 + 18h + 3h^2 + 33+hh
Expandindo e simplificando adequadamente:
-1h + 18 + 3h + 3h(3+h)
Então:
3(9 + 6h + h^2) + 33+h - 28h = 27 + 18h + 3h^2 + 33+h - 28h = -1 + 18h + 3h^2 + 33+hh
Agora, à medida que $ h $ tende a 0, os termos com $ h $ no numerador se anulam, deixando:
f'(3) = limh to 0 f(3+h) - f(3)h = limh to 0 3(3+h)^2 + 33+h - 28h
Observamos que isso não está simplificando corretamente. Na verdade, a forma mais eficiente é aplicar a definição direta da derivada:
3(9 + 6h + h^2) = 27 + 18h + 3h^2
Expandindo e simplificando:
Isso resulta em:
27 + 18h + 3h^2 + 33+h - 28h = -1 + 18h + 3h^2 + 33+hh
Ao substituir $ x = 3 $ e $ h \to 0 $:
h

Resposta

O limite do quociente de Newton no ponto $ x = 3 $ é $ \frac{53}{3} $.

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