Calcule a derivada \frac{d y}{d x} :
y=\operatorname{arcsen}\left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função y=\operatorname{arcsen}\left(e^{x}\right) e pede para calcular \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
y=\operatorname{arcsen}\bigl(e^{x}\bigr).
Lembrar que \operatorname{arcsen} (arco seno) tem domínio de saída \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] e exige que seu argumento esteja em [-1,1]. Como e^{x}>0 para todo x, isso impõe a condição
e^{x}\le 1 \quad\Longrightarrow\quad x\le 0.
A pergunta concreta: encontrar a expressão de \dfrac{dy}{dx} (e indicar onde essa expressão é válida).

Passo 2

Vou ensinar a fórmula básica que vamos usar: derivada do arco seno composto. Primeiro, a derivada de \operatorname{arcsen}(u) em relação a u (quando -1<u<1) é
\frac{d}{du}\!\left[\operatorname{arcsen}(u)\right]=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Explicando por que isso é verdade (passo a passo didático): seja y=\operatorname{arcsen}(u). Então por definição \sin(y)=u. Diferenciando ambos os lados em relação a u (usando diferenciação implícita):
\cos(y)\,\frac{dy}{du}=1.
Logo
\frac{dy}{du}=\frac{1}{\cos(y)}.
Como y=\operatorname{arcsen}(u) está no intervalo \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right], temos \cos(y)\ge 0 e podemos usar a identidade \cos^{2}(y)=1-\sin^{2}(y) para obter
\cos(y)=\sqrt{1-\sin^{2}(y)}=\sqrt{1-u^{2}}.
Substituindo na expressão acima vem
\frac{dy}{du}=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}},
que é a fórmula anunciada. (Importante: o sinal positivo da raiz vem por \cos(y)\ge0 no ramo principal do arco seno.)

Passo 3

Agora a regra que conecta isso a funções compostas: a Regra da Cadeia. Se y=f(g(x)) então
\frac{dy}{dx}=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Em palavras: derivamos a função externa em relação à sua entrada (avaliada na entrada g(x)) e multiplicamos pela derivada da entrada g(x). Exemplo rápido: se y=\sin(e^{x}), então \dfrac{dy}{dx}=\cos(e^{x})\cdot e^{x}.

Passo 4

Aplicando esse conhecimento ao nosso problema. Identificamos a função externa e a interna:
\text{externa: } f(u)=\operatorname{arcsen}(u),\qquad \text{interna: } u(x)=e^{x}.
Pela Passo 2, f'(u)=\dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}. Pela regra da cadeia (Passo 3),
\frac{dy}{dx}=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\bigl(u(x)\bigr)^{2}}}\cdot u'(x).

Passo 5

Calcule u'(x). Como u(x)=e^{x}, temos
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x}.
Substituindo u(x)=e^{x} e u'(x)=e^{x} na expressão do Passo 4:
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{x}}{\sqrt{1-\bigl(e^{x}\bigr)^{2}}}=\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}.

Passo 6

Discutindo validade (muito importante na prova): a fórmula \dfrac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}} só faz sentido real quando o radicando é positivo, isto é, quando 1-e^{2x}>0. Isso equivale a
e^{2x}<1\quad\Longrightarrow\quad 2x<0\quad\Longrightarrow\quad x<0.
No ponto x=0 temos e^{x}=1 e o denominador é zero; a derivada tende a infinito e, portanto, não existe derivada finita em x=0. Pela exigência do arco seno, já sabíamos que x\le 0 é o domínio da função; a derivada real existe apenas para x<0.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}},\quad x<0

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