Calcule a derivada
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Lembrar que
(arco seno) tem domínio de saída
e exige que seu argumento esteja em
. Como
para todo
, isso impõe a condição
A pergunta concreta: encontrar a expressão de
(e indicar onde essa expressão é válida).
Passo 2
Vou ensinar a fórmula básica que vamos usar: derivada do arco seno composto. Primeiro, a derivada de
em relação a
(quando
) é
Explicando por que isso é verdade (passo a passo didático): seja
. Então por definição
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(usando diferenciação implícita):
Logo
Como
está no intervalo
, temos
e podemos usar a identidade
para obter
Substituindo na expressão acima vem
que é a fórmula anunciada. (Importante: o sinal positivo da raiz vem por
no ramo principal do arco seno.)
Passo 3
Agora a regra que conecta isso a funções compostas: a Regra da Cadeia. Se
então
Em palavras: derivamos a função externa em relação à sua entrada (avaliada na entrada
) e multiplicamos pela derivada da entrada
. Exemplo rápido: se
, então
.
Passo 4
Aplicando esse conhecimento ao nosso problema. Identificamos a função externa e a interna:
Pela Passo 2,
. Pela regra da cadeia (Passo 3),
Passo 5
Calcule
. Como
, temos
Substituindo
e
na expressão do Passo 4:
Passo 6
Discutindo validade (muito importante na prova): a fórmula
só faz sentido real quando o radicando é positivo, isto é, quando
. Isso equivale a
No ponto
temos
e o denominador é zero; a derivada tende a infinito e, portanto, não existe derivada finita em
. Pela exigência do arco seno, já sabíamos que
é o domínio da função; a derivada real existe apenas para
.