Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas: a função é uma composição de uma função potência com uma função trigonométrica; o expoente é
e a parte interna é
. A pergunta é: qual é
?
Passo 2
Vou usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz o seguinte: se temos uma função composta
, então a derivada é
Aqui
é a função exterior (a que depende de
) e
é a função interior. Em palavras: derivamos a função de fora deixando a parte interna como está e multiplicamos pela derivada da parte interna.
Passo 3
Identificamos as duas funções:
e a função exterior é
. Aplicando a regra do poder (power rule) para
temos
A regra do poder afirma que, para
com
constante, a derivada em relação a
é
. Aqui
.
Passo 4
Agora precisamos de
. Como
, temos:
a derivada de é
e a derivada de
usamos novamente uma cadeia simples: seja
, então
e
a derivada de
Como
temos
. Portanto
Assim
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia com
e
, obtemos uma expressão para a derivada sem simplificar a constante:
Se quiser, usando a identidade trigonométrica
podemos reescrever a expressão anterior numa forma alternativa, mas a simplificação final vai aparecer na seção de resposta.