Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
\frac{d}{d x}\left(\left(1+\cos ^{2} x\right)^{47}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
\left(1+\cos^{2}x\right)^{47}.
Informações dadas: a função é uma composição de uma função potência com uma função trigonométrica; o expoente é 47 e a parte interna é 1+\cos^{2}x. A pergunta é: qual é \dfrac{d}{dx}\left(\left(1+\cos^{2}x\right)^{47}\right)?

Passo 2

Vou usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz o seguinte: se temos uma função composta y=f(g(x)), então a derivada é
y' = f'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui f é a função exterior (a que depende de u=g(x)) e g é a função interior. Em palavras: derivamos a função de fora deixando a parte interna como está e multiplicamos pela derivada da parte interna.

Passo 3

Identificamos as duas funções:
u(x)=1+\cos^{2}x
e a função exterior é f(u)=u^{47}. Aplicando a regra do poder (power rule) para f(u)=u^{47} temos
f'(u)=47u^{46}.
A regra do poder afirma que, para u^{n} com n constante, a derivada em relação a u é n u^{n-1}. Aqui n=47.

Passo 4

Agora precisamos de u'(x). Como u(x)=1+\cos^{2}x, temos:
a derivada de 1 é 0 e a derivada de \cos^{2}x usamos novamente uma cadeia simples: seja v(x)=\cos x, então \cos^{2}x = v(x)^{2} e
\frac{d}{dx}v(x)^{2} = 2 v(x)\cdot v'(x).
Como v(x)=\cos x temos v'(x)=-\sin x. Portanto
\frac{d}{dx}\cos^{2}x = 2\cos x\cdot(-\sin x) = -2\cos x\sin x.
Assim
u'(x) = -2\cos x\sin x.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia com f'(u)=47u^{46} e u'(x)=-2\cos x\sin x, obtemos uma expressão para a derivada sem simplificar a constante:
\frac{d}{dx}\left(\left(1+\cos^{2}x\right)^{47}\right) = 47\left(1+\cos^{2}x\right)^{46}\cdot\big(-2\cos x\sin x\big).
Se quiser, usando a identidade trigonométrica 2\cos x\sin x=\sin(2x) podemos reescrever a expressão anterior numa forma alternativa, mas a simplificação final vai aparecer na seção de resposta.

Resposta

-94\cos x\sin x\left(1+\cos^{2}x\right)^{46}

Exercícios relacionados