Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
\left(\left(1+\cos ^{2} x\right)^{\operatorname{sen} x}\right)^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y(x)=\left(1+\cos^{2} x\right)^{\sin x}.
Informações dadas:
\text{função }y(x)=\left(1+\cos^{2} x\right)^{\sin x}.çã
Pergunta: calcular y'(x), a derivada dessa função em relação a x.

Passo 2

Escolha do método: aqui tanto a base quanto o expoente dependem de x, portanto é conveniente usar diferenciação por logaritmo (logarithmic differentiation). Esse método consiste em tomar o logaritmo natural de y para transformar potência com expoente variável em produto, facilitar a diferenciação e depois voltar a y'. Vou mostrar a regra geral e explicar cada termo.
Seja y=u(x)^{v(x)} com u(x)>0. Tomando logaritmo:
\ln y = v(x)\,\ln u(x).
Diferenciando em relação a x (usando a regra da cadeia e a regra do produto) obtemos
\frac{y'}{y} = v'(x)\,\ln u(x) + v(x)\,\frac{u'(x)}{u(x)}.
Portanto
y' = y\left(v'(x)\,\ln u(x) + v(x)\,\frac{u'(x)}{u(x)}\right).
Aqui u(x) é a base, v(x) é o expoente; u'(x) e v'(x) são suas derivadas.

Passo 3

Identificamos para o nosso problema:
u(x)=1+\cos^{2}x, \qquad v(x)=\sin x.
Precisamos calcular u'(x) e v'(x).

Passo 4

Calcule v'(x). Como v(x)=\sin x, usamos a derivada básica da função seno:
v'(x)=\cos x.

Passo 5

Calcule u'(x). Temos u(x)=1+\cos^{2}x. A constante 1 some na derivada e para \cos^{2}x usamos a regra da cadeia: se w(x)=g(x)^{2} então w'(x)=2g(x)g'(x). Aqui g(x)=\cos x e g'(x)=-\sin x. Assim
u'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x.
(Observação: -2\sin x\cos x também pode ser escrito como -\sin 2x, mas manterei a forma em produto para facilitar cancelamentos posteriores.)

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula geral obtida no Passo 2:
y' = y\left(v'(x)\,\ln u(x) + v(x)\,\frac{u'(x)}{u(x)}\right).
Substituindo y=\left(1+\cos^{2}x\right)^{\sin x}, v'(x)=\cos x, v(x)=\sin x, u'(x)=-2\sin x\cos x e u(x)=1+\cos^{2}x, obtemos
y'=\left(1+\cos^{2}x\right)^{\sin x}\left(\cos x\cdot\ln\!\left(1+\cos^{2}x\right)+\sin x\cdot\frac{-2\sin x\cos x}{1+\cos^{2}x}\right).

Passo 7

Faço uma pequena simplificação no segundo termo do parêntese:
\sin x\cdot\frac{-2\sin x\cos x}{1+\cos^{2}x}=-\frac{2\sin^{2}x\cos x}{1+\cos^{2}x}.
Assim
y'=\left(1+\cos^{2}x\right)^{\sin x}\left(\cos x\ln\!\left(1+\cos^{2}x\right)-\frac{2\sin^{2}x\cos x}{1+\cos^{2}x}\right).

Passo 8

Podemos fatorar \cos x dentro do parêntese para deixar a expressão mais compacta:
y'=\left(1+\cos^{2}x\right)^{\sin x}\cos x\left(\ln\!\left(1+\cos^{2}x\right)-\frac{2\sin^{2}x}{1+\cos^{2}x}\right).
Ambas as formas (a expandida do Passo 6/7 e esta fatorada) estão corretas e equivalentes; escolha a que achar mais legível na prova.

Passo 9

Pequeno exemplo análogo para fixar: se z(x)=(1+x^{2})^{x}, seguindo o mesmo procedimento teríamos
z'=(1+x^{2})^{x}\left(\ln(1+x^{2})+x\cdot\frac{2x}{1+x^{2}}\right),
o que ilustra a mesma estrutura: o resultado é a própria função multiplicada por v'\ln u + v\frac{u'}{u}.

Resposta

\left(\left(1+\cos^{2}x\right)^{\sin x}\right)'=\left(1+\cos^{2}x\right)^{\sin x}\cos x\left(\ln\!\left(1+\cos^{2}x\right)-\frac{2\sin^{2}x}{1+\cos^{2}x}\right)

Exercícios relacionados