Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas:
Pergunta: calcular
, a derivada dessa função em relação a
.
Passo 2
Escolha do método: aqui tanto a base quanto o expoente dependem de
, portanto é conveniente usar diferenciação por logaritmo (logarithmic differentiation). Esse método consiste em tomar o logaritmo natural de
para transformar potência com expoente variável em produto, facilitar a diferenciação e depois voltar a
. Vou mostrar a regra geral e explicar cada termo.
Seja
com
. Tomando logaritmo:
Diferenciando em relação a
(usando a regra da cadeia e a regra do produto) obtemos
Portanto
Aqui
é a base,
é o expoente;
e
são suas derivadas.
Passo 3
Identificamos para o nosso problema:
Precisamos calcular
e
.
Passo 4
Calcule
. Como
, usamos a derivada básica da função seno:
Passo 5
Calcule
. Temos
. A constante
some na derivada e para
usamos a regra da cadeia: se
então
. Aqui
e
. Assim
(Observação:
também pode ser escrito como
, mas manterei a forma em produto para facilitar cancelamentos posteriores.)
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula geral obtida no Passo 2:
Substituindo
,
,
,
e
, obtemos
Passo 7
Faço uma pequena simplificação no segundo termo do parêntese:
Assim
Passo 8
Podemos fatorar
dentro do parêntese para deixar a expressão mais compacta:
Ambas as formas (a expandida do Passo 6/7 e esta fatorada) estão corretas e equivalentes; escolha a que achar mais legível na prova.
Passo 9
Pequeno exemplo análogo para fixar: se
, seguindo o mesmo procedimento teríamos
o que ilustra a mesma estrutura: o resultado é a própria função multiplicada por
.