(9) Calcule os seguintes limites:
\lim _{t \rightarrow 0}(t-\operatorname{tg} t) t^{-3}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{t\to 0}\bigl(t-\operatorname{tg} t\bigr)\,t^{-3}.
Informações dadas e o que pedir:
  • A função envolvida é a tangente, escrita como \operatorname{tg} t (ou seja, \tan t).
  • O ponto de interesse é t\to 0.
  • Precisamos calcular o limite do quociente \bigl(t-\tan t\bigr)/t^{3} quando t tende a zero.

Passo 2

Escolha de método (explicação curta e motivadora):
  • Para limites perto de zero envolvendo funções trigonométricas, é muito eficiente usar as expansões em série (expansões de Taylor) de \sin t e \cos t e daí obter \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t}.
  • Só precisamos dos termos até ordem t^{3}, porque estamos dividindo por t^{3}. Vou mostrar a expansão de \sin t e \cos t e depois fazer a divisão de séries de forma simples e elementar. Dá pra fazer com l’Hôpital também, mas seria mais trabalhoso e repetitivo aqui.

Passo 3

Lembrete e cálculo das séries de \sin t e \cos t até as ordens necessárias:
  • A série de Taylor centrada em 0 para \sin t é
\sin t = t - \frac{t^{3}}{3!} + \frac{t^{5}}{5!} - \cdots.
Aqui usamos 3! = 6, então até ordem t^{3} temos
\sin t = t - \frac{t^{3}}{6} + O(t^{5}).
  • A série de Taylor para \cos t é
\cos t = 1 - \frac{t^{2}}{2!} + \frac{t^{4}}{4!} - \cdots,
então até ordem t^{2} (suficiente para nosso objetivo)
\cos t = 1 - \frac{t^{2}}{2} + O(t^{4}).
  • No que escrevi, O(t^{n}) significa “termos cujo módulo é no máximo proporcional a t^{n}” quando t\to 0; isso nos diz que esses termos serão desprezíveis após dividir por t^{3} se tiverem ordem maior que t^{3}.

Passo 4

Encontrar a expansão de \tan t = \dfrac{\sin t}{\cos t} até o termo em t^{3}:
  • Escrevemos
\sin t = t - \frac{t^{3}}{6} + O(t^{5}), \qquad \cos t = 1 - \frac{t^{2}}{2} + O(t^{4}).
  • Primeiro calculamos uma expansão para 1/\cos t. Como \cos t = 1+u com u=-\dfrac{t^{2}}{2}+O(t^{4}), usamos a série geométrica truncada:
\frac{1}{1+u}=1-u+u^{2}-\cdots.
Tomando só o que interessa até t^{2}, temos (substituindo u)
\frac{1}{\cos t}=1+\frac{t^{2}}{2}+O(t^{4}).
  • Agora multiplicamos:
\tan t = \sin t\cdot\frac{1}{\cos t} = \Bigl(t - \frac{t^{3}}{6} + O(t^{5})\Bigr)\Bigl(1+\frac{t^{2}}{2}+O(t^{4})\Bigr).
Desenvolvendo e mantendo termos até t^{3}:
\tan t = t + t\cdot\frac{t^{2}}{2} - \frac{t^{3}}{6} + O(t^{5}) = t + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)t^{3} + O(t^{5}).
  • Simplificando o coeficiente de t^{3}:
\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{3-1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},
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\tan t = t + \frac{t^{3}}{3} + O(t^{5}).

Passo 5

Calcular \bigl(t-\tan t\bigr)t^{-3} usando a expansão:
  • Subtraindo:
t-\tan t = t -\left(t + \frac{t^{3}}{3} + O(t^{5})\right) = -\frac{t^{3}}{3} + O(t^{5}).
  • Dividindo por t^{3}:
\bigl(t-\tan t\bigr)t^{-3} = -\frac{1}{3} + O(t^{2}).
  • Quando t\to 0, o termo O(t^{2}) tende a zero, então o limite é o termo constante que sobrou: -\dfrac{1}{3}.

Passo 6

Interpretação final e alternativa:
  • Portanto o limite existe e vale -\dfrac{1}{3}.
  • Observação rápida: se preferir, dá para obter o mesmo resultado com derivadas (aplicando l’Hôpital repetidamente), mas a expansão em séries é mais direta e menos trabalhosa aqui.

Resposta

-\dfrac{1}{3}

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