(9) Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e o que pedir:
- A função envolvida é a tangente, escrita como
(ou seja, ). - O ponto de interesse é
. - Precisamos calcular o limite do quociente
quando tende a zero.
Passo 2
Escolha de método (explicação curta e motivadora):
- Para limites perto de zero envolvendo funções trigonométricas, é muito eficiente usar as expansões em série (expansões de Taylor) de
e e daí obter . - Só precisamos dos termos até ordem
, porque estamos dividindo por . Vou mostrar a expansão de e e depois fazer a divisão de séries de forma simples e elementar. Dá pra fazer com l’Hôpital também, mas seria mais trabalhoso e repetitivo aqui.
Passo 3
Lembrete e cálculo das séries de
e
até as ordens necessárias:
- A série de Taylor centrada em
para é
Aqui usamos
, então até ordem
temos
- A série de Taylor para
é
então até ordem
(suficiente para nosso objetivo)
- No que escrevi,
significa “termos cujo módulo é no máximo proporcional a ” quando ; isso nos diz que esses termos serão desprezíveis após dividir por se tiverem ordem maior que .
Passo 4
Encontrar a expansão de
até o termo em
:
- Escrevemos
- Primeiro calculamos uma expansão para
. Como com , usamos a série geométrica truncada:
Tomando só o que interessa até
, temos (substituindo
)
- Agora multiplicamos:
Desenvolvendo e mantendo termos até
:
- Simplificando o coeficiente de
:
logo
Passo 5
Calcular
usando a expansão:
- Subtraindo:
- Dividindo por
:
- Quando
, o termo tende a zero, então o limite é o termo constante que sobrou: .
Passo 6
Interpretação final e alternativa:
- Portanto o limite existe e vale
. - Observação rápida: se preferir, dá para obter o mesmo resultado com derivadas (aplicando l’Hôpital repetidamente), mas a expansão em séries é mais direta e menos trabalhosa aqui.