Calcule a derivada \frac{d y}{d x} :
y=\ln \left(\operatorname{arccos} \left(x^{3}+1\right)\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{dy}{dx} da função
y=\ln\big(\operatorname{arccos}\big(x^{3}+1\big)\big).
Informações importantes dadas:
  • A função é composta (há funções dentro de funções): primeiro x\mapsto x^{3}+1, depois \operatorname{arccos}(\cdot), e por fim \ln(\cdot).
  • O que se pede é a derivada de y em relação a x: \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Conceito-chave: regra da cadeia. Vou explicar devagar e com carinho.
Se tivermos uma composição y=f(g(x)), a regra da cadeia diz que
\frac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
O que isso significa: primeiro derivamos a função externa f em relação à sua entrada (chame de t), obtemos f'(t), e depois substituímos t=g(x). Em seguida multiplicamos pelo derivado da função interna g'(x). Intuitivamente, as “taxas” vão se multiplicando.
Exemplo simples e rápido: para y=\ln(x^2) usamos a regra da cadeia com f(t)=\ln t e g(x)=x^2. Temos f'(t)=1/t e g'(x)=2x. Logo
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^2}\cdot 2x=\frac{2}{x}.

Passo 3

Extensão para três camadas: se y=f(g(h(x))), então
\frac{dy}{dx}=f'\big(g(h(x))\big)\cdot g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
No nosso caso a composição tem exatamente três camadas: \ln (externa), \operatorname{arccos} (média) e x^{3}+1 (interna).

Passo 4

Identificamos cada camada e suas derivadas:
  • Função externa: f(t)=\ln t. A derivada é
f'(t)=\frac{1}{t}.
Aqui t representa a entrada de \ln, no nosso caso t=\operatorname{arccos}(x^{3}+1).
  • Função do meio: g(s)=\operatorname{arccos} s. Fórmula conhecida (e muito útil) para a derivada de \operatorname{arccos} é
g'(s)= -\frac{1}{\sqrt{1-s^{2}}},\quad \text{para }|s|<1.
Explicando: a derivada de \operatorname{arccos} s é negativa porque \operatorname{arccos} é decrescente; o denominador \sqrt{1-s^2} vem da relação trigonométrica básica quando se deriva funções inversas de cosseno.
  • Função interna: h(x)=x^{3}+1. Usando a regra do poder e que a derivada de constante é zero,
h'(x)=3x^{2}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia para as três camadas:
\frac{dy}{dx}=f'\big(g(h(x))\big)\cdot g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Substituindo as derivadas que achamos:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\operatorname{arccos}\big(x^{3}+1\big)}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{\,1-\big(x^{3}+1\big)^{2}\,}}\right)\cdot 3x^{2}.

Passo 6

Juntando os fatores e arrumando o sinal negativo:
\frac{dy}{dx}=-\frac{3x^{2}}{\operatorname{arccos}\big(x^{3}+1\big)\,\sqrt{\,1-\big(x^{3}+1\big)^{2}\,}}.
Este é o resultado simplificado. Observe que o denominador contém \operatorname{arccos}(\cdot) e a raiz quadrada; por isso a derivada só existe onde essas quantidades são bem definidas (ou seja, onde \operatorname{arccos}(x^{3}+1) está definida e positiva para entrar no \ln, e onde a raiz não é zero no denominador).
Dica encorajadora: você fez certinho ao identificar as camadas; a parte mecânica é sempre aplicar a regra da cadeia camada a camada e multiplicar as derivadas internas.

Resposta

\displaystyle -\frac{3x^{2}}{\operatorname{arccos}\big(x^{3}+1\big)\,\sqrt{\,1-\big(x^{3}+1\big)^{2}\,}}

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