(9) Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos 3 x)^{1 / \operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} (\cos 3x)^{1/\sin x}.
Informações dadas/observações imediatas:
  • A expressão é uma função de x para x>0 (aproximando 0 pela direita).
  • Quando x\to 0^{+} temos \cos 3x \to 1 e \sin x \to 0^{+}. Portanto a forma é do tipo 1^{\infty}, que é uma indeterminação clássica.
  • A tarefa é encontrar o valor desse limite (um único número).

Passo 2

Como temos a indeterminação do tipo 1^{\infty}, o método padrão é passar ao logaritmo natural para transformar a potenciação em produto e resolver a indeterminação. Esse método funciona porque a função \ln é contínua e estritamente crescente em (0,\infty); assim, se o limite da função original existe e é positivo, o limite do logaritmo existe e determina o da função original por exponenciação. Definimos
L=\lim_{x\to 0^{+}} (\cos 3x)^{1/\sin x}.
Se o limite existir e for positivo, então podemos trabalhar com
\ln L = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln(\cos 3x)}{\sin x}.
Logo basta calcular o limite à direita e depois tomar a exponencial.

Passo 3

Escrevendo explicitamente o logaritmo da função:
\ln\big((\cos 3x)^{1/\sin x}\big)=\frac{\ln(\cos 3x)}{\sin x}.
Então precisamos calcular
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln(\cos 3x)}{\sin x}.
Repare que \ln(\cos 3x) tende a \ln 1=0 e \sin x tende a 0, então ainda temos uma forma 0/0. Para resolver isso, vamos aproximar \ln(\cos 3x) para x pequeno.

Passo 4

Lembrando um resultado padrão (que vou justificar rapidamente): para t pequeno,
\cos t = 1 - \frac{t^{2}}{2} + o(t^{2}),
onde o(t^{2}) significa termos que, divididos por t^{2}, vão a 0 quando t\to 0. Esse desenvolvimento vem da série de Taylor ou do limite conhecido
\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t^{2}}=\frac{1}{2}.
Agora usamos a aproximação do logaritmo: para u pequeno,
\ln(1+u)=u+o(u).
Aplicando com u=\cos 3x -1 (que é pequeno quando x é pequeno), obtemos
\ln(\cos 3x)=\ln\Big(1 - \frac{(3x)^{2}}{2} + o(x^{2})\Big) = -\frac{9x^{2}}{2} + o(x^{2}).
Explicando as etapas: substituí t=3x na expansão de \cos t, obtendo 1-\tfrac{(3x)^{2}}{2}+o(x^{2}). Depois usei \ln(1+u)=u+o(u) com u=-\tfrac{9x^{2}}{2}+o(x^{2}), resultando em \ln(\cos 3x)=-\tfrac{9x^{2}}{2}+o(x^{2}).

Passo 5

Agora voltamos ao quociente:
\frac{\ln(\cos 3x)}{\sin x} =\frac{-\tfrac{9x^{2}}{2}+o(x^{2})}{\sin x}.
Usamos também a aproximação \sin x = x + o(x) (ou seja \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1). Substituindo,
\frac{-\tfrac{9x^{2}}{2}+o(x^{2})}{\sin x} = \frac{-\tfrac{9x^{2}}{2}+o(x^{2})}{x+o(x)}.
Dividindo numerador e denominador por x,
= \frac{-\tfrac{9x}{2}+o(x)}{1+o(1)}.
Quando x\to 0^{+}, o numerador -\tfrac{9x}{2}+o(x) tende a 0 e o denominador tende a 1. Portanto
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln(\cos 3x)}{\sin x} = 0.
Isso significa que \ln L = 0.

Passo 6

Como \ln L = 0, concluímos que
L = e^{0}=1.
Interpretação rápida: a base \cos 3x fica muito próxima de 1, mas o expoente 1/\sin x cresce; ainda assim, o desvio de \cos 3x em relação a 1 é da ordem x^{2}, enquanto o expoente cresce como 1/x, então o produto que aparece no log vai como ordem x e tende a 0. Por isso o limite é 1.

Resposta

1

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