(9) Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas/observações imediatas:
- A expressão é uma função de
para (aproximando pela direita). - Quando
temos e . Portanto a forma é do tipo , que é uma indeterminação clássica. - A tarefa é encontrar o valor desse limite (um único número).
Passo 2
Como temos a indeterminação do tipo
, o método padrão é passar ao logaritmo natural para transformar a potenciação em produto e resolver a indeterminação. Esse método funciona porque a função
é contínua e estritamente crescente em
; assim, se o limite da função original existe e é positivo, o limite do logaritmo existe e determina o da função original por exponenciação. Definimos
Se o limite existir e for positivo, então podemos trabalhar com
Logo basta calcular o limite à direita e depois tomar a exponencial.
Passo 3
Escrevendo explicitamente o logaritmo da função:
Então precisamos calcular
Repare que
tende a
e
tende a
, então ainda temos uma forma
. Para resolver isso, vamos aproximar
para
pequeno.
Passo 4
Lembrando um resultado padrão (que vou justificar rapidamente): para
pequeno,
onde
significa termos que, divididos por
, vão a
quando
. Esse desenvolvimento vem da série de Taylor ou do limite conhecido
Agora usamos a aproximação do logaritmo: para
pequeno,
Aplicando com
(que é pequeno quando
é pequeno), obtemos
Explicando as etapas: substituí
na expansão de
, obtendo
. Depois usei
com
, resultando em
.
Passo 5
Agora voltamos ao quociente:
Usamos também a aproximação
(ou seja
). Substituindo,
Dividindo numerador e denominador por
,
Quando
, o numerador
tende a
e o denominador tende a
. Portanto
Isso significa que
.
Passo 6
Como
, concluímos que
Interpretação rápida: a base
fica muito próxima de
, mas o expoente
cresce; ainda assim, o desvio de
em relação a
é da ordem
, enquanto o expoente cresce como
, então o produto que aparece no log vai como ordem
e tende a
. Por isso o limite é
.