Use a técnica de substituição simples para calcular as seguintes integrais.
\int \frac{e^{x}}{e^{2 x}+16} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{e^{x}}{e^{2x}+16}\,dx
usando técnica de substituição simples. O conteúdo é reconhecer no numerador a derivada de uma função do denominador e transformar a integral numa forma padrão de \int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^{x},
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du = e^{x}\,dx.
No integrando vemos e^{x}\,dx, que é exatamente du. Além disso, e^{2x} = (e^{x})^{2} = u^{2}. Portanto a integral original vira
\int \frac{e^{x}}{e^{2x}+16}\,dx = \int \frac{du}{u^{2}+16}.

Passo 3

Reconhecemos a forma padrão
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\biggl(\frac{u}{a}\biggr) + C,
com a^{2}=16, ou seja, a=4. Assim
\int \frac{du}{u^{2}+16} = \frac{1}{4}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{4}\Bigr) + C.

Passo 4

Voltando à variável x, substituímos u = e^{x}:
\frac{1}{4}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{4}\Bigr) + C = \frac{1}{4}\arctan\!\Bigl(\frac{e^{x}}{4}\Bigr) + C.

Resposta

\int \frac{e^{x}}{e^{2x}+16}\,dx = \frac{1}{4}\arctan\!\Bigl(\frac{e^{x}}{4}\Bigr) + C.

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