Calcule a derivada da função:
pontos)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função está explicitamente escrita acima.
- O objetivo é encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Antes de derivar, verificar o domínio (para garantir que a função logarítmica faz sentido): a expressão dentro do logaritmo é
Podemos reconhecê-la como um quadrado perfeito:
Como
para todo
, o argumento do log é sempre positivo e a função
está definida para todo
. Isso também garante que não haverá divisão por zero nas simplificações futuras envolvendo
.
Passo 3
Explicar a regra que vamos usar (cadeia + derivada do log):
- Regra da cadeia para composições: se
, então
- Derivada do log natural: para
com ,
Combinando as duas (caso
), obtemos a fórmula prática:
Exemplo rápido e análogo:
. Isso ajuda a ver o padrão que vamos aplicar.
Passo 4
Aplicar a fórmula com
. Primeiro calcule
usando a regra do poder (power rule): para
,
.
-
. -
. -
.
Logo
Passo 5
Agora use a fórmula da derivada do log:
Passo 6
Fazer a simplificação algébrica para deixar a resposta mais elegante. No numerador fatoramos:
No denominador já vimos que
Substituindo:
Como
para todo
, podemos cancelar um fator
, obtendo
Passo 7
Verificação alternativa (check de coerência): escrever
. Derivando diretamente:
o que confirma o resultado anterior.
Passo 8
Resumo final e motivação para a prova: a técnica principal aqui é reconhecer a composição
e aplicar a regra da cadeia na forma simples
. Ao calcular
use a regra do poder termo a termo e, sempre que possível, fatorize e simplifique (procure quadrados perfeitos como
para facilitar cancelamentos).