Calcule a derivada da função:
\left(0,5\right. pontos) f(x)=\ln \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\ln\!\left(x^{4}+2x^{2}+1\right).
Informações dadas:
  • A função está explicitamente escrita acima.
  • O objetivo é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Antes de derivar, verificar o domínio (para garantir que a função logarítmica faz sentido): a expressão dentro do logaritmo é
x^{4}+2x^{2}+1.
Podemos reconhecê-la como um quadrado perfeito:
x^{4}+2x^{2}+1=(x^{2}+1)^{2}.
Como (x^{2}+1)^{2}>0 para todo x\in\mathbb{R}, o argumento do log é sempre positivo e a função f está definida para todo x\in\mathbb{R}. Isso também garante que não haverá divisão por zero nas simplificações futuras envolvendo x^{2}+1.

Passo 3

Explicar a regra que vamos usar (cadeia + derivada do log):
  • Regra da cadeia para composições: se F(x)=g(h(x)), então
F'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
  • Derivada do log natural: para g(u)=\ln(u) com u>0,
g'(u)=\frac{1}{u}.
Combinando as duas (caso f(x)=\ln(u(x))), obtemos a fórmula prática:
\frac{d}{dx}\ln\big(u(x)\big)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Exemplo rápido e análogo: \dfrac{d}{dx}\ln(x^2+1)=\dfrac{2x}{x^2+1}. Isso ajuda a ver o padrão que vamos aplicar.

Passo 4

Aplicar a fórmula com u(x)=x^{4}+2x^{2}+1. Primeiro calcule u'(x) usando a regra do poder (power rule): para x^{n}, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • \dfrac{d}{dx}x^{4}=4x^{3}.
  • \dfrac{d}{dx}2x^{2}=2\cdot 2x=4x.
  • \dfrac{d}{dx}1=0.
Logo
u'(x)=4x^{3}+4x.

Passo 5

Agora use a fórmula da derivada do log:
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{4x^{3}+4x}{x^{4}+2x^{2}+1}.

Passo 6

Fazer a simplificação algébrica para deixar a resposta mais elegante. No numerador fatoramos:
4x^{3}+4x=4x\big(x^{2}+1\big).
No denominador já vimos que
x^{4}+2x^{2}+1=(x^{2}+1)^{2}.
Substituindo:
f'(x)=\frac{4x\big(x^{2}+1\big)}{(x^{2}+1)^{2}}.
Como x^{2}+1\neq0 para todo x\in\mathbb{R}, podemos cancelar um fator (x^{2}+1), obtendo
f'(x)=\frac{4x}{x^{2}+1}.

Passo 7

Verificação alternativa (check de coerência): escrever f(x)=\ln\big((x^{2}+1)^{2}\big)=2\ln(x^{2}+1). Derivando diretamente:
f'(x)=2\cdot\frac{d}{dx}\ln(x^{2}+1)=2\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}=\frac{4x}{x^{2}+1},
o que confirma o resultado anterior.

Passo 8

Resumo final e motivação para a prova: a técnica principal aqui é reconhecer a composição \ln(u(x)) e aplicar a regra da cadeia na forma simples \dfrac{u'(x)}{u(x)}. Ao calcular u'(x) use a regra do poder termo a termo e, sempre que possível, fatorize e simplifique (procure quadrados perfeitos como (x^{2}+1)^{2} para facilitar cancelamentos).

Resposta

f'(x)=\frac{4x}{x^{2}+1}

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