Calcule a derivada da função abaixo:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ y = \frac{(x{2}+1){4}}{(x+1)^{3}} $. Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente usando a regra do quociente. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar essa regra e também a regra da cadeia para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vão entrar na regra do quociente. Na nossa função, temos:
- $ f(x) = (x^{2} + 1)^{4} $ (o numerador)
- $ g(x) = (x + 1)^{3} $ (o denominador)
Passo 3
Agora, vamos lembrar da Regra do Quociente, que diz:
Ou seja, a derivada da função é a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo isso dividido pelo denominador ao quadrado.
Passo 4
Vamos calcular $ f’(x) $. Como $ f(x) = (x^{2} + 1)^{4} $, precisamos usar a Regra da Cadeia:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ g’(x) $. Como $ g(x) = (x + 1)^{3} $, aplicamos a derivada:
Passo 6
Com $ f’(x) $ e $ g’(x) $ em mãos, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, fatoramos $ (x^{2} + 1)^{3}(x + 1)^{2} $ do numerador:
Passo 8
Simplificando ainda mais, cancelamos $ (x + 1)^{2} $ do numerador com parte do denominador:
Passo 9
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro dos colchetes:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão de $ y’ $:
Resposta
A derivada da função é: