Calcule a derivada da função abaixo:
y=(x^2+1)^4(x+1)^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ y = \frac{(x{2}+1){4}}{(x+1)^{3}} $. Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente usando a regra do quociente. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar essa regra e também a regra da cadeia para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vão entrar na regra do quociente. Na nossa função, temos:
  • $ f(x) = (x^{2} + 1)^{4} $ (o numerador)
  • $ g(x) = (x + 1)^{3} $ (o denominador)

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Regra do Quociente, que diz:
ddx(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2
Ou seja, a derivada da função é a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo isso dividido pelo denominador ao quadrado.

Passo 4

Vamos calcular $ f’(x) $. Como $ f(x) = (x^{2} + 1)^{4} $, precisamos usar a Regra da Cadeia:
f'(x)

Passo 5

Agora, vamos calcular $ g’(x) $. Como $ g(x) = (x + 1)^{3} $, aplicamos a derivada:
g'(x)

Passo 6

Com $ f’(x) $ e $ g’(x) $ em mãos, vamos aplicar a Regra do Quociente:
f'(x)

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, fatoramos $ (x^{2} + 1)^{3}(x + 1)^{2} $ do numerador:
(x^2 + 1)^3(x + 1)^2

Passo 8

Simplificando ainda mais, cancelamos $ (x + 1)^{2} $ do numerador com parte do denominador:
(x + 1)^2

Passo 9

Vamos expandir e simplificar a expressão dentro dos colchetes:
8x(x + 1) - 3(x^2 + 1) = 8x^2 + 8x - 3x^2 - 3 = 5x^2 + 8x - 3

Passo 10

Substituindo de volta na expressão de $ y’ $:
y'

Resposta

A derivada da função é:
y' = (x^2 + 1)^3 (5x^2 + 8x - 3)(x + 1)^4

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