(3) Calcule a derivada da função
g(x)= \begin{cases}x^{3} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right), & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } x=0\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função g\) definida por \[g(x)= \begin{cases}x^{3}\sin\left(\frac{1}{x}\right), & \text{se } x \neq 0, \\[4pt] 0, & \text{se } x=0.\end{cases}
As perguntas implícitas que precisamos responder são:
  • Qual é g'(x)\] quando \(x\neq 0?
  • Qual é g'(0) (derivada no ponto x=0)?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Para x\neq 0 temos a expressão explícita g(x)=x^{3}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right).
  • Para x=0 temos g(0)=0.]

Passo 2

Derivada para x\neq 0: vamos aplicar as regras de derivação adequadas de forma explícita e bem explicada.
Regra do produto (explicação): se uma função f é produto de duas funções u(x) e v(x), ou seja f(x)=u(x)\,v(x), então a derivada é
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui identificamos u(x)=x^{3} e v(x)=\sin\!\left(\frac{1}{x}\right).
Regra da cadeia (explicação): se v(x)=\sin(w(x)), a derivada é v'(x)=\cos(w(x))\cdot w'(x). Ou seja, derivamos o seno em relação ao seu argumento e multiplicamos pela derivada do argumento.
Agora calculamos passo a passo:
  • Derivada de u(x)=x^{3} é u'(x)=3x^{2}.
  • Para v(x)=\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) aplicamos a cadeia: o argumento é w(x)=\frac{1}{x}. Então w'(x)=-\frac{1}{x^{2}}. Assim
v'(x)=\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=-\frac{1}{x^{2}}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right).
Aplicando a regra do produto:
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=3x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)+x^{3}\left(-\frac{1}{x^{2}}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\right).
Simplificando o segundo termo x^{3}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=-x, obtemos
g'(x)=3x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)-x\cos\!\left(\frac{1}{x}\right),\qquad\text{para }x\neq 0.

Passo 3

Derivada em x=0: aqui não podemos usar as fórmulas acima (pois há 1/x nelas), então usamos a definição de derivada no ponto.
Definição (explicação): a derivada de g em 0 é
g'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{g(0+h)-g(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{g(h)-g(0)}{h}.
Como g(0)=0, isso fica
g'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{g(h)}{h}.
Para h\neq 0 temos g(h)=h^{3}\sin\!\left(\frac{1}{h}\right), portanto
\frac{g(h)}{h}=\frac{h^{3}\sin\!\left(\frac{1}{h}\right)}{h}=h^{2}\sin\!\left(\frac{1}{h}\right).
Agora precisamos calcular \displaystyle\lim_{h\to 0}h^{2}\sin\!\left(\frac{1}{h}\right). Usamos um argumento simples e muito útil: a desigualdade |\sin(t)|\le 1 para todo t. Assim
\left|h^{2}\sin\!\left(\frac{1}{h}\right)\right|\le h^{2}.
Como \lim_{h\to 0}h^{2}=0, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) obtemos
\lim_{h\to 0}h^{2}\sin\!\left(\frac{1}{h}\right)=0.
Portanto
g'(0)=0.

Passo 4

Resumo da derivada obtida e comentário final (rápido e motivador):
  • Para x\neq 0 usamos produto e cadeia e chegamos a
g'(x)=3x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)-x\cos\!\left(\frac{1}{x}\right).
  • Em x=0 usamos a definição de derivada e o Teorema do Confronto para mostrar que g'(0)=0.
Um comentário extra útil para a prova: se alguém perguntar sobre continuidade de g' em 0, vale notar (rápido) que ambos os termos de g'(x) tendem a 0 quando x\to 0 (porque |3x^{2}\sin(1/x)|\le 3x^{2} e |x\cos(1/x)|\le |x|), então \lim_{x\to 0}g'(x)=0=g'(0), ou seja g' é contínua em 0.

Resposta

\displaystyle g'(x)=3x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)-x\cos\!\left(\frac{1}{x}\right),\quad x\neq 0.\n \displaystyle g'(0)=0.

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