Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x^{3}-4 x^{2}+2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função racional abaixo:
\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x^{3}-4 x^{2}+2}\right).
Informações dadas:
\text{função } y=\frac{1}{x^{3}-4 x^{2}+2}=\left(x^{3}-4x^{2}+2\right)^{-1}.çã
Domínio implícito: todos os x tais que x^{3}-4x^{2}+2\neq0 (pois não podemos dividir por zero).

Passo 2

Escolha do método e explicação da regra principal (didática).
Uma maneira eficiente é reescrever a função como potência negativa
y=\left(x^{3}-4x^{2}+2\right)^{-1}
e aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz o seguinte: se temos uma função composta y=f(g(x)), então
\frac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Aqui podemos tomar f(u)=u^{-1} e u=g(x)=x^{3}-4x^{2}+2. Vou explicar passo a passo o que é cada peça:
  • f(u)=u^{-1} é a função externa (uma potência).
  • g(x)=x^{3}-4x^{2}+2 é a função interna (o polinômio).
    Aplicamos primeiro a derivada de f em termos de u e depois multiplicamos pela derivada de g em termos de x.

Passo 3

Derivar a função externa f(u)=u^{-1} usando a regra da potência.
A regra da potência diz que para qualquer n real,
\frac{d}{du}\big(u^{n}\big)=n\,u^{n-1}.
Aplicando com n=-1 obtemos
f'(u)=\frac{d}{du}\big(u^{-1}\big)=-1\cdot u^{-2}=-u^{-2}.

Passo 4

Derivar a função interna g(x)=x^{3}-4x^{2}+2 termo a termo.
Regra básica: a derivada de x^{k} é k x^{k-1} e a derivada de uma constante é 0. Portanto,
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)-4\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)+\frac{d}{dx}(2)=3x^{2}-4\cdot 2x+0=3x^{2}-8x.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia combinando os resultados dos passos anteriores.
Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(\left(x^{3}-4x^{2}+2\right)^{-1}\right)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x) = -\big(x^{3}-4x^{2}+2\big)^{-2}\cdot\big(3x^{2}-8x\big).

Passo 6

Simplificar a expressão para uma forma de fração comum.
Escrevendo a potência negativa como denominador ao quadrado, temos
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^{3}-4x^{2}+2}\right)=-\frac{3x^{2}-8x}{\big(x^{3}-4x^{2}+2\big)^{2}}.
Opcionalmente podemos fatorar o numerador:
-\frac{3x^{2}-8x}{\big(x^{3}-4x^{2}+2\big)^{2}}=-\frac{x(3x-8)}{\big(x^{3}-4x^{2}+2\big)^{2}}.

Passo 7

Dica rápida para a prova (motivação): quando tiver 1/ alguma expressão, reescreva como potência (\cdot)^{-1} e use regra da cadeia. Derive a parte externa (potência) e multiplique pela derivada da parte interna (polinômio). Respira fundo, faz passo a passo, e sai dessa!

Resposta

-\frac{3x^{2}-8x}{\big(x^{3}-4x^{2}+2\big)^{2}}

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