Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função racional abaixo:
Informações dadas:
Domínio implícito: todos os
tais que
(pois não podemos dividir por zero).
Passo 2
Escolha do método e explicação da regra principal (didática).
Uma maneira eficiente é reescrever a função como potência negativa
Uma maneira eficiente é reescrever a função como potência negativa
e aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz o seguinte: se temos uma função composta
, então
Aqui podemos tomar
e
. Vou explicar passo a passo o que é cada peça:
-
é a função externa (uma potência). -
é a função interna (o polinômio).
Aplicamos primeiro a derivada deem termos de e depois multiplicamos pela derivada de em termos de .
Passo 3
Derivar a função externa
usando a regra da potência.
A regra da potência diz que para qualquer real,
A regra da potência diz que para qualquer
Aplicando com
obtemos
Passo 4
Derivar a função interna
termo a termo.
Regra básica: a derivada de é
e a derivada de uma constante é
. Portanto,
Regra básica: a derivada de
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia combinando os resultados dos passos anteriores.
Pela regra da cadeia:
Pela regra da cadeia:
Passo 6
Simplificar a expressão para uma forma de fração comum.
Escrevendo a potência negativa como denominador ao quadrado, temos
Escrevendo a potência negativa como denominador ao quadrado, temos
Opcionalmente podemos fatorar o numerador:
Passo 7
Dica rápida para a prova (motivação): quando tiver
alguma expressão, reescreva como potência
e use regra da cadeia. Derive a parte externa (potência) e multiplique pela derivada da parte interna (polinômio). Respira fundo, faz passo a passo, e sai dessa!