Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
em relação a
.
Informações relevantes dadas: a variável é e a função é
. Note que essa expressão só está bem definida quando
(pois não podemos dividir por zero).
Informações relevantes dadas: a variável é
Passo 2
Escolha do método: existem duas formas simples e básicas de calcular essa derivada — usar a regra do quociente diretamente ou reescrever como produto
e usar a regra do produto. Vou usar a regra do quociente porque é direta aqui (menos passos algébricos), mas depois mostro rapidamente a verificação com a regra do produto para você ver que dá o mesmo resultado.
Passo 3
Regra do quociente (fórmula e explicação): se temos duas funções
e
com
, então
Aqui
significa a derivada de
em relação a
e
significa a derivada de
em relação a
. A fórmula diz: derivada do numerador vezes o denominador menos numerador vezes derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador.
Passo 4
Identificação das funções no nosso caso: tome
Agora as derivadas básicas que precisamos:
pois a derivada da função seno é cosseno; e
Aqui expliquei o que cada símbolo quer dizer:
é a derivada de
e
é a derivada de
.
Passo 5
Aplicando a regra do quociente: usando a fórmula
substituímos
pelos valores acima:
Passo 6
Simplificação: organizar a expressão do numerador e do denominador para ficar numa forma mais convencional:
Podemos também dividir cada termo do numerador por
e obter uma forma alternativa frequentemente útil:
As duas formas são algebraicamente equivalentes; escolha a que você achar mais clara na prova.
Passo 7
Verificação alternativa (regra do produto) — para reforçar a ideia: escreva
Por regra do produto,
. Com
e
temos
Logo
que é exatamente a forma equivalente obtida pela regra do quociente. Assim confirmamos que está correto.
Passo 8
Observação final e motivação para a prova: a derivada existe para todo
. Se na prova pedirem também o comportamento em
, aí precisaríamos usar limites (por exemplo, usando que
quando
), mas isso é outro passo — por ora a derivada simbólica está feita e verificada.