Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
\frac{d}{d \theta}\left(\frac{\operatorname{sen} \theta}{\theta}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função \displaystyle \frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta} em relação a \theta.
Informações relevantes dadas: a variável é \theta e a função é \displaystyle f(\theta)=\frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta}. Note que essa expressão só está bem definida quando \theta\neq0 (pois não podemos dividir por zero).

Passo 2

Escolha do método: existem duas formas simples e básicas de calcular essa derivada — usar a regra do quociente diretamente ou reescrever como produto \operatorname{sen}\theta\cdot\theta^{-1} e usar a regra do produto. Vou usar a regra do quociente porque é direta aqui (menos passos algébricos), mas depois mostro rapidamente a verificação com a regra do produto para você ver que dá o mesmo resultado.

Passo 3

Regra do quociente (fórmula e explicação): se temos duas funções u(\theta) e v(\theta) com v(\theta)\neq0, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.
Aqui u'(\theta) significa a derivada de u em relação a \theta e v'(\theta) significa a derivada de v em relação a \theta. A fórmula diz: derivada do numerador vezes o denominador menos numerador vezes derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador.

Passo 4

Identificação das funções no nosso caso: tome
u(\theta)=\operatorname{sen}\theta,\qquad v(\theta)=\theta.
Agora as derivadas básicas que precisamos:
u'(\theta)=\frac{d}{d\theta}\operatorname{sen}\theta=\operatorname{cos}\theta,
pois a derivada da função seno é cosseno; e
v'(\theta)=\frac{d}{d\theta}\theta=1.
Aqui expliquei o que cada símbolo quer dizer: \operatorname{cos}\theta é a derivada de \operatorname{sen}\theta e 1 é a derivada de \theta.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente: usando a fórmula
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2},
substituímos u,u',v,v' pelos valores acima:
\frac{d}{d\theta}\left(\frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta}\right) =\frac{\operatorname{cos}\theta\cdot\theta-\operatorname{sen}\theta\cdot 1}{\theta^{2}}.

Passo 6

Simplificação: organizar a expressão do numerador e do denominador para ficar numa forma mais convencional:
\frac{\operatorname{cos}\theta\cdot\theta-\operatorname{sen}\theta}{\theta^{2}}.
Podemos também dividir cada termo do numerador por \theta^{2} e obter uma forma alternativa frequentemente útil:
\frac{\operatorname{cos}\theta}{\theta}-\frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta^{2}}.
As duas formas são algebraicamente equivalentes; escolha a que você achar mais clara na prova.

Passo 7

Verificação alternativa (regra do produto) — para reforçar a ideia: escreva
\frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta}=\operatorname{sen}\theta\cdot\theta^{-1}.
Por regra do produto, (fg)'=f'g+fg'. Com f(\theta)=\operatorname{sen}\theta e g(\theta)=\theta^{-1} temos
f'(\theta)=\operatorname{cos}\theta,\qquad g'(\theta)=-\theta^{-2}.
Logo
\frac{d}{d\theta}\big(\operatorname{sen}\theta\cdot\theta^{-1}\big) =\operatorname{cos}\theta\cdot\theta^{-1}+\operatorname{sen}\theta\cdot(-\theta^{-2}) =\frac{\operatorname{cos}\theta}{\theta}-\frac{\operatorname{sen}\theta}{\theta^{2}},
que é exatamente a forma equivalente obtida pela regra do quociente. Assim confirmamos que está correto.

Passo 8

Observação final e motivação para a prova: a derivada existe para todo \theta\neq0. Se na prova pedirem também o comportamento em \theta\to0, aí precisaríamos usar limites (por exemplo, usando que \operatorname{sen}\theta\sim\theta quando \theta\to0), mas isso é outro passo — por ora a derivada simbólica está feita e verificada.

Resposta

\displaystyle \frac{\theta\operatorname{cos}\theta-\operatorname{sen}\theta}{\theta^{2}}

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