Calcule a derivada da função em cada caso:
f(x)=sin (x)+sin (x^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função f(x) = sin(x) + sin(x^2) . Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas e uso da regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar conhecer as derivadas de funções trigonométricas básicas e saber como aplicar a regra da cadeia quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar a função seno. A derivada de sin(u) em relação a u é cos(u) . Isso significa que se temos sin(x) , a derivada em relação a x será cos(x) .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda parte da função: sin(x^2) . Aqui, temos uma função composta, porque o argumento do seno é x^2 . Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta sin(u) , onde u = x^2 , então a derivada será cos(u) times dudx .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, temos:
ddx sin(x^2) = cos(x^2) times ddx(x^2)
Calculando a derivada de x^2 em relação a x , que é 2x , então:
ddx sin(x^2) = cos(x^2) times 2x = 2x cos(x^2)

Passo 5

Agora, juntando as duas partes que derivamos:
f'(x) = ddx sin(x) + ddx sin(x^2) = cos(x) + 2x cos(x^2)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = cos(x) + 2x,cos(x^2)

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