Por que f: R R dada por f(x)=x é injetora? f é sobrej.? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
fcolon RtoR, f(x)=x
é injetora e verificar se ela é sobrejetora. O conteúdo envolvido é a definição formal de injetividade (“um-para-um”) e de sobrejetividade (“sobre”).

Passo 2

Injetividade significa que, sempre que
f(x1)=f(x2),
então necessariamente x1=x2. Suponha x1,x2inR tais que
f(x1)=f(x2)
Pela definição de f temos
x1 = f(x1) = f(x2) = x2
Logo a hipótese f(x1)=f(x2) leva à conclusão x1=x2, e assim f é injetora.

Passo 3

Sobrejetividade significa que, para todo yinR, existe xinR com f(x)=y. Dado um y arbitrário em R, basta escolher
x = y
Então
f(x)=f(y)=y,
o que mostra que todo y tem um “pré-imagem” x. Portanto f é sobrejetora.

Resposta

f é injetora? Sim, pois f(x1)=f(x2) implica x1=x2.
f é sobrejetora? Sim, pois para todo yinR existe x=y com f(x)=y.

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