Calcule a derivada da função em cada caso:
f(x)=(sin ^2(x))(sin (x^2))(sin ^2(x^2)).

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função f(x) = (sin^2(x)) (sin(x^2)) (sin^2(x^2)) . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas elevadas a potências e compostas, então vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Observe que temos dois termos com sin(x^2):
f(x) = sin^2(x) cdot sin(x^2) cdot sin^2(x^2) = sin^2(x) cdot sin^3(x^2)
Isso porque sin(x^2) cdot sin^2(x^2) = sin^3(x^2).

Passo 3

Agora, vamos identificar as partes da função para aplicar a regra do produto. Temos duas funções multiplicadas:
u(x) = sin^2(x) e v(x) = sin^3(x^2)
A regra do produto diz que a derivada de f(x) = u(x) cdot v(x) é:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)

Passo 4

Vamos derivar u(x) = sin^2(x). Para isso, usamos a regra da cadeia:
u'(x) = 2sin(x) cdot cos(x) = sin(2x)
Isso porque 2sin(x)cos(x) = sin(2x), uma identidade trigonométrica.

Passo 5

Agora, vamos derivar v(x) = sin^3(x^2). Também usamos a regra da cadeia aqui:
Primeiro, considere w(x) = sin(x^2), então v(x) = w^3(x).
A derivada de v(x) em relação a x é:
v'(x) = 3w^2(x) cdot w'(x) = 3sin^2(x^2) cdot cos(x^2) cdot 2x = 6x sin^2(x^2) cos(x^2)
Aqui, derivamos sin(x^2) usando a regra da cadeia, onde a derivada de x^2 é 2x.

Passo 6

Agora, substituímos u'(x) e v'(x) na fórmula da regra do produto:
f'(x) = sin(2x) cdot sin^3(x^2) + sin^2(x) cdot 6x sin^2(x^2) cos(x^2)

Passo 7

Podemos fatorar sin^2(x^2) para simplificar a expressão:
f'(x) = sin^2(x^2) [ sin(2x) cdot sin(x^2) + 6x sin^2(x) cos(x^2) ]

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = sin^2(x^2) [ sin(2x) cdot sin(x^2) + 6x sin^2(x) cos(x^2) ]

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