Calcule a derivada da função em cada caso:
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função
. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas elevadas a potências e compostas, então vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Observe que temos dois termos com
:
Isso porque
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as partes da função para aplicar a regra do produto. Temos duas funções multiplicadas:
A regra do produto diz que a derivada de
é:
Passo 4
Vamos derivar
. Para isso, usamos a regra da cadeia:
Isso porque
, uma identidade trigonométrica.
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Também usamos a regra da cadeia aqui:
Primeiro, considere
, então
.
A derivada de
em relação a
é:
Aqui, derivamos
usando a regra da cadeia, onde a derivada de
é
.
Passo 6
Agora, substituímos
e
na fórmula da regra do produto:
Passo 7
Podemos fatorar
para simplificar a expressão:
Resposta
A derivada da função é: