A função
dada por
é injetora?
é sobrej.? Se for bijetora, qual a inversa? Justifique.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para verificar se
é injetora, sobrejetora e, em caso afirmativo, determinar sua inversa. Vamos usar as definições de injeção e sobrejeção e a propriedade de monotonicidade de
em
.
Passo 2
Para testar injetividade, lembramos que
é injetora se
Aqui, se
e
, então necessariamente
. Alternativamente, nota-se que em
temos
ou seja,
é estritamente crescente, logo injetora.
Passo 3
Para testar sobrejetividade, usamos que
é sobrejetora se, dado qualquer
, existe
tal que
. Basta escolher
pois
Assim, todo
tem um antecessor em
, e
é sobrejetora.
Passo 4
Como
é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, concluímos que
é bijetora. Em particular, sua inversa
vai de
em
e satisfaz
Resposta
Logo,