A função f:[0,+infty[[0,+infty[ dada por f(x)=x^2 é injetora? f é sobrej.? Se for bijetora, qual a inversa? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon [0,+infty[;longrightarrow;[0,+infty[, f(x)=x^2
e pede para verificar se f é injetora, sobrejetora e, em caso afirmativo, determinar sua inversa. Vamos usar as definições de injeção e sobrejeção e a propriedade de monotonicidade de f em [0,+infty[.

Passo 2

Para testar injetividade, lembramos que f é injetora se
f(x1)=f(x2)Longrightarrow x1=x2
Aqui, se x1^2=x2^2 e x1,x2>= 0, então necessariamente x1=x2. Alternativamente, nota-se que em [0,+infty[ temos
f'(x)=2x>0para todo x>0,
ou seja, f é estritamente crescente, logo injetora.

Passo 3

Para testar sobrejetividade, usamos que f é sobrejetora se, dado qualquer yin[0,+infty[, existe xin[0,+infty[ tal que f(x)=y. Basta escolher
x=raizy>=0,
pois
f(raizy)=(raizy)^2=y
Assim, todo y>=0 tem um antecessor em [0,+infty[, e f é sobrejetora.

Passo 4

Como f é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, concluímos que f é bijetora. Em particular, sua inversa f^-1 vai de [0,+infty[ em [0,+infty[ e satisfaz
f^-1(y)=raizy

Resposta

f é injetora? Sim.
f é sobrejetora? Sim.
Logo, f é bijetora e
f^-1(y)=raizy

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