Calcule a derivada da função em cada caso:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função
. Esse exercício tá dentro do conteúdo de derivadas de funções trigonométricas inversas. Pra resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções inversas e entender as propriedades da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Essa função é o inverso da função
, ou seja, para
, temos que
.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
. Ao fazer isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é 1.
Passo 4
Agora, isolamos
, que é justamente a derivada que queremos encontrar.
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que
e
(vindo das relações trigonométricas do triângulo retângulo). Então substituímos:
Resposta
A derivada da função
é: