Calcule a derivada da função em cada caso:
f(x)=arccsc(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função f(x) = arccsc(x) . Esse exercício tá dentro do conteúdo de derivadas de funções trigonométricas inversas. Pra resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções inversas e entender as propriedades da função arccsc(x) .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é arccsc(x) . Essa função é o inverso da função csc(x) , ou seja, para y = arccsc(x) , temos que x = csc(y) .

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação x = csc(y) em relação a x . Ao fazer isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de x em relação a x é 1.
ddxx = ddxcsc(y)
1 = -csc(y)cot(y) cdot dydx

Passo 4

Agora, isolamos dydx , que é justamente a derivada que queremos encontrar.
dydx = -1csc(y)cot(y)

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que csc(y) = x e cot(y) = raizx^2 - 1 (vindo das relações trigonométricas do triângulo retângulo). Então substituímos:
dydx = -1x cdot raizx^2 - 1

Resposta

A derivada da função f(x) = arccsc(x) é:
f'(x) = -1x raizx^2 - 1

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