A função f:[-1,1] [0,1[ dada por f(x)=x^2 é injetora? f é sobrej.? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon[-1,1]to[0,1[, f(x)=x^2
e pergunta se f é injetora (um-a-um) e se é sobrejetora (sobre). Para responder, vamos usar as definições:
  • f é injetora se, sempre que f(x1)=f(x2), devemos ter x1=x2.
  • f é sobrejetora se, para todo y no contradomínio [0,1[, existe xin[-1,1] tal que f(x)=y.

Passo 2

Verificação de injetividade. Suponha que
f(x1)=f(x2)
Então
x1^2 = x2^2
implica
x1 = x2 ou x1 = -,x2
Como podemos ter x1neq x2 (por exemplo, x1=1 e x2=-1 dão 1^2=(-1)^2), conclui-se que f não é injetora.

Passo 3

Verificação de sobrejetividade. Tome um valor arbitrário
yin[0,1[
Basta escolher
x = raizyin[0,1[
(entram na conta também x=-raizy, mas só precisamos de algum x). Então
f(x)=l(raizyr)^2 = y,
logo para todo yin[0,1[ existe xin[-1,1] com f(x)=y. Portanto f é sobrejetora.

Passo 4

Resumo dos resultados:
  • f não é injetora, pois f(x)=f(-x) para xneq0.
  • f é sobrejetora em [0,1[, pois todo y<1 é atingido por x=raizy.

Resposta

f não é injetora; f é sobrejetora.

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