Calcule a derivada da função em cada caso:
f(x)=arcsin (ln (3 x^2+2 x-1)).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=arcsin!l(ln(3x^2+2x-1)r)
O conteúdo aqui é a regra da cadeia, junto com as derivadas de arcsin(u), ln(u) e de polinômio.

Passo 2

Vamos ver a composição em camadas:
v(x)=3x^2+2x-1,
u(x)=lnl(v(x)r) e
f(x)=arcsinl(u(x)r).

Passo 3

Derivada da camada externa arcsin(u): se F(u)=arcsin(u) então
F'(u)=1raiz1-u^2
Pela cadeia,
f'(x)=u'(x)raiz1-[u(x)]^2

Passo 4

Derivada da segunda camada u(x)=ln(v(x)): como l(ln wr)'=w'/w,
u'(x)=v'(x)v(x)

Passo 5

Derivada da primeira camada v(x)=3x^2+2x-1:
v'(x)=6x+2

Passo 6

Agora juntamos tudo:
u'(x)=6x+23x^2+2x-1,
f'(x) =6x+23x^2+2x-1;1raiz1-l(ln(3x^2+2x-1)r)^2 =6x+2(3x^2+2x-1),raiz1-l(ln(3x^2+2x-1)r)^2

Resposta

f'(x)=6x+2(3x^2+2x-1),raiz1-l(ln(3x^2+2x-1)r)^2

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