A função sin : R [-1,1] é bijetora? A função cos : R [-1,1] é bijetora? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão perguntando se as funções seno ( sin) e cosseno ( cos), que vão de todos os números reais ( R) para o intervalo entre -1 e 1 ( [-1,1]), são bijetoras. Bijeção é um conceito de matemática que significa que a função é injetora (não repete nenhum valor no gráfico) e sobrejetora (cobre todo o intervalo de saída). Vamos entender isso certinho para saber se sin e cos cumprem esses requisitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se cada elemento do conjunto de saída é mapeado por no máximo um elemento do conjunto de entrada. Em outras palavras, não pode ter dois valores diferentes na entrada que dão o mesmo valor na saída.

Passo 3

Agora, vamos pensar na função seno, sin : R [-1,1]. A função seno é periódica, ou seja, ela se repete a cada 2pi. Isso significa que, para qualquer número real x, sin(x) = sin(x + 2pi k), onde k é qualquer inteiro. Por causa dessa periodicidade, existem infinitos valores de x que resultam no mesmo valor de seno. Então, a função seno não é injetora.

Passo 4

Vamos analisar também se a função seno é sobrejetora. Como o seno de qualquer número real sempre cai dentro do intervalo [-1,1], e para cada valor em [-1,1] existe pelo menos um x que produz esse valor (por exemplo, sin(pi/2) = 1 e sin(-pi/2) = -1), podemos dizer que a função seno é sobrejetora.

Passo 5

Resumindo o que vimos para a função seno: ela é sobrejetora, mas não é injetora. Para ser bijetora, a função precisa ser as duas coisas, o que não acontece aqui. Portanto, a função seno não é bijetora.

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para a função cosseno, cos : R [-1,1]. A função cosseno também é periódica, com período 2pi, ou seja, cos(x) = cos(x + 2pi k) para qualquer inteiro k. Isso significa que, assim como o seno, existem múltiplos valores de x que resultam no mesmo valor de cosseno. Portanto, a função cosseno não é injetora.

Passo 7

Vamos verificar a sobrejetividade do cosseno. Similar ao seno, o cosseno também cobre todo o intervalo [-1,1], já que para cada valor nesse intervalo, existe pelo menos um x que produz esse valor de cosseno (como cos(0) = 1 e cos(pi) = -1). Assim, a função cosseno é sobrejetora.

Passo 8

Resumindo para a função cosseno: ela é sobrejetora, mas não é injetora. Portanto, não é bijetora porque precisa ser as duas coisas ao mesmo tempo, e não é o caso aqui. Logo, a função cosseno não é bijetora.

Resposta

Nenhuma das funções sin : R [-1,1] nem cos : R [-1,1] é bijetora, pois ambas não são injetoras, apesar de serem sobrejetoras.

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