A função
é bijetora? A função
é bijetora? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão perguntando se as funções seno (
) e cosseno (
), que vão de todos os números reais (
) para o intervalo entre -1 e 1 (
), são bijetoras. Bijeção é um conceito de matemática que significa que a função é injetora (não repete nenhum valor no gráfico) e sobrejetora (cobre todo o intervalo de saída). Vamos entender isso certinho para saber se
e
cumprem esses requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se cada elemento do conjunto de saída é mapeado por no máximo um elemento do conjunto de entrada. Em outras palavras, não pode ter dois valores diferentes na entrada que dão o mesmo valor na saída.
Passo 3
Agora, vamos pensar na função seno,
. A função seno é periódica, ou seja, ela se repete a cada
. Isso significa que, para qualquer número real
,
, onde
é qualquer inteiro. Por causa dessa periodicidade, existem infinitos valores de
que resultam no mesmo valor de seno. Então, a função seno não é injetora.
Passo 4
Vamos analisar também se a função seno é sobrejetora. Como o seno de qualquer número real sempre cai dentro do intervalo
, e para cada valor em
existe pelo menos um
que produz esse valor (por exemplo,
e
), podemos dizer que a função seno é sobrejetora.
Passo 5
Resumindo o que vimos para a função seno: ela é sobrejetora, mas não é injetora. Para ser bijetora, a função precisa ser as duas coisas, o que não acontece aqui. Portanto, a função seno não é bijetora.
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para a função cosseno,
. A função cosseno também é periódica, com período
, ou seja,
para qualquer inteiro
. Isso significa que, assim como o seno, existem múltiplos valores de
que resultam no mesmo valor de cosseno. Portanto, a função cosseno não é injetora.
Passo 7
Vamos verificar a sobrejetividade do cosseno. Similar ao seno, o cosseno também cobre todo o intervalo
, já que para cada valor nesse intervalo, existe pelo menos um
que produz esse valor de cosseno (como
e
). Assim, a função cosseno é sobrejetora.
Passo 8
Resumindo para a função cosseno: ela é sobrejetora, mas não é injetora. Portanto, não é bijetora porque precisa ser as duas coisas ao mesmo tempo, e não é o caso aqui. Logo, a função cosseno não é bijetora.
Resposta
Nenhuma das funções
nem
é bijetora, pois ambas não são injetoras, apesar de serem sobrejetoras.