EXERCÍCIOS 1 - GAAL - 08/04/2025
JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS
1-Sejam A, B e C matrizes n times n, sendo que C é matriz invertível. Responda VERDADEIRO ou FALSO, justificando:
(a) det(2 C A B^2 C^-1)=2 det(A) det(B)^2.
(b) Se A neq 0 e B neq 0 então A B neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três matrizes quadradas A, B e C de dimensão n times n , onde C é invertível. Precisamos avaliar duas afirmações:
(a) Se o determinante de 2CABC^-1 é igual a 2 det(A) det(B)^2 .
(b) Se A e B não são matrizes nulas, então o produto AB também não é nulo.
Para resolver isso, vamos lembrar de algumas propriedades importantes de determinantes e de multiplicação de matrizes.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Queremos saber se:
det(2C A B^2 C^-1) = 2 det(A) det(B)^2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz invertível C e C^-1 estão relacionados pela propriedade det(C^-1) = 1det(C) .

Passo 3

Outra propriedade importante é que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes:
det(C A B^2 C^-1) = det(C) det(A) det(B^2) det(C^-1)
E sabemos que det(B^2) = (det(B))^2 .

Passo 4

Substituindo det(C^-1) = 1det(C) , temos:
det(C A B^2 C^-1) = det(C) det(A) (det(B))^2 cdot 1det(C) = det(A) (det(B))^2
Agora, precisamos considerar o fator 2 que está multiplicando a matriz inteira.

Passo 5

Quando multiplicamos uma matriz por um escalar k , o determinante é multiplicado por k^n , onde n é a dimensão da matriz. Então:
det(2C A B^2 C^-1) = 2^n det(C A B^2 C^-1) = 2^n det(A) (det(B))^2
Comparando com o lado direito da igualdade proposta na questão, que é 2 det(A) det(B)^2 , vemos que a igualdade só será verdadeira se n = 1 .

Passo 6

Como a questão fala que as matrizes são de dimensão n times n , onde n pode ser diferente de 1, a afirmação (a) é FALSA para n neq 1 .

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). A afirmação é: se A neq 0 e B neq 0 , então AB neq 0 .
Sabemos que a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, AB nem sempre é igual a BA . Além disso, mesmo que A e B sejam matrizes não nulas, o produto AB pode ser a matriz nula em alguns casos.

Passo 8

Por exemplo, considere as seguintes matrizes 2x2:
A = 1 & 0 0 & 0 , B = 0 & 0 0 & 1
Ambas A e B não são nulas, mas:
AB = 1 cdot 0 + 0 cdot 0 & 1 cdot 0 + 0 cdot 1 0 cdot 0 + 0 cdot 0 & 0 cdot 0 + 0 cdot 1 = 0 & 0 0 & 0
Então, AB = 0 mesmo que A neq 0 e B neq 0 .

Resposta

(a) FALSO.
(b) FALSO.

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