EXERCÍCIOS 1 - GAAL - 08/04/2025
JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS
1-Sejam e matrizes , sendo que é matriz invertível. Responda VERDADEIRO ou FALSO, justificando:
(a) .
(b) Se e então .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três matrizes quadradas e de dimensão , onde é invertível. Precisamos avaliar duas afirmações:
(a) Se o determinante de é igual a .
(b) Se e não são matrizes nulas, então o produto também não é nulo.
Para resolver isso, vamos lembrar de algumas propriedades importantes de determinantes e de multiplicação de matrizes.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Queremos saber se:
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz invertível e estão relacionados pela propriedade .
Passo 3
Outra propriedade importante é que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes:
E sabemos que .
Passo 4
Substituindo , temos:
Agora, precisamos considerar o fator 2 que está multiplicando a matriz inteira.
Passo 5
Quando multiplicamos uma matriz por um escalar , o determinante é multiplicado por , onde é a dimensão da matriz. Então:
Comparando com o lado direito da igualdade proposta na questão, que é , vemos que a igualdade só será verdadeira se .
Passo 6
Como a questão fala que as matrizes são de dimensão , onde pode ser diferente de 1, a afirmação (a) é FALSA para .
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). A afirmação é: se e , então .
Sabemos que a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, nem sempre é igual a . Além disso, mesmo que e sejam matrizes não nulas, o produto pode ser a matriz nula em alguns casos.