Calcule a derivada da função em cada caso:
f(x)=3^x^3-2 x^2+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função f(x) = 3^x^3 - 2x^2 + 1 . Isso está dentro do assunto de Cálculo Diferencial, especificamente no tópico de derivadas de funções exponenciais com expoentes que são funções de x . Para resolver, vamos usar a regra da derivada para funções exponenciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como derivar uma função exponencial geral. Se tivermos uma função da forma f(x) = a^g(x) , onde a é uma constante e g(x) é uma função de x , a derivada dessa função é dada por:
f'(x) = a^g(x) cdot ln(a) cdot g'(x)
Aqui, ln(a) é o logaritmo natural de a , e g'(x) é a derivada da função no expoente.

Passo 3

Aplicando essa regra à nossa função f(x) = 3^x^3 - 2x^2 + 1 , identificamos que:
  • a = 3
  • g(x) = x^3 - 2x^2 + 1
Então, a derivada será:
f'(x) = 3^x^3 - 2x^2 + 1 cdot ln(3) cdot ddx(x^3 - 2x^2 + 1)

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada de g(x) = x^3 - 2x^2 + 1 . Usando as regras básicas de derivação:
ddx(x^3) = 3x^2
ddx(-2x^2) = -4x
ddx(1) = 0
Portanto:
g'(x) = 3x^2 - 4x

Passo 5

Substituindo g'(x) de volta na expressão da derivada de f(x) :
f'(x) = 3^x^3 - 2x^2 + 1 cdot ln(3) cdot (3x^2 - 4x)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 3^x^3 - 2x^2 + 1 cdot ln(3) cdot (3x^2 - 4x)

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