Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substituição e partes:
integral ln (x^2+1) d x.

Passo 1

Somos convidados a calcular a primitiva
integral lnl(x^2+1r),dx
usando métodos de substituição e, especialmente, integração por partes. O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, que exige escolher funções u e dv de forma conveniente.

Passo 2

Escolhemos as partes de forma clássica para esse tipo de integral:
u = lnl(x^2+1r), dv = dx

Passo 3

Calculamos du e v a partir dessas escolhas:
du = ddxlnl(x^2+1r),dx = 2xx^2+1,dx,
v = integral dv = integral 1,dx = x

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes
integral u,dv = u,v - integral v,du
obtemos
integral lnl(x^2+1r),dx = xlnl(x^2+1r) - integral xcdot2xx^2+1,dx

Passo 5

No integrando restante, simplificamos
xcdot2xx^2+1 = 2x^2x^2+1 = 2l(x^2+1x^2+1 - 1x^2+1r) = 2l(1 - 1x^2+1r)
Assim,
integral xcdot2xx^2+1,dx = 2integral!1,dx - 2integral1x^2+1,dx = 2x - 2arctan(x)

Passo 6

Substituindo de volta na parte principal, fica
integral lnl(x^2+1r),dx = xlnl(x^2+1r) - l(2x - 2arctan(x)r) + C = xlnl(x^2+1r) - 2x + 2arctan(x) + C

Resposta

integral lnl(x^2+1r),dx = xlnl(x^2+1r) - 2x + 2arctan(x) + C

Exercícios relacionados