Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substituição e partes:
integral(x^3+x) cos (x^2+1) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integrall(x^3+xr)cosl(x^2+1r),dx
usando substituição e, em seguida, integração por partes para a parte que restar. O conteúdo aqui é técnica de integração por substituição seguida de partes.

Passo 2

Note que x^3+x pode ser fatorado como
x^3+x = x,(x^2+1),
e dentro do cosseno temos exatamente x^2+1. Isso sugere fazer a substituição
u = x^2+1,
pois então du = 2x,dx.

Passo 3

Com u=x^2+1 temos du = 2x,dx, logo
x,dx = du2
E como x^2+1=u, substituindo na integral obtemos
integral x,(x^2+1)cos(x^2+1),dx = integral ucos(u),du2 = 12integral ucos(u),du

Passo 4

Agora calculamos
integral ucos(u),du
por partes. Escolhemos
A = u, & dB = cos(u),du, dA = du, & B = integralcos(u),du = sin(u)
Pela fórmula de partes integral A,dB = A,B - integral B,dA, temos
integral ucos(u),du = usin(u) - integral sin(u),du = usin(u) + cos(u) + C1

Passo 5

Voltando à integral original, multiplicamos por tfrac12:
12integral ucos(u),du = 12l(usin(u) + cos(u)r) + C

Passo 6

Finalmente, substituímos u = x^2+1 de volta:
12l((x^2+1)sin(x^2+1) + cos(x^2+1)r) + C

Resposta

integrall(x^3+xr)cosl(x^2+1r),dx = 12l((x^2+1)sin(x^2+1) + cos(x^2+1)r) + C

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