Calcule a derivada da função dada:
g(t)=(t, t^2, 2 t^2) cdot(e^t, cos (t), ln (t))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(t)=l(t,t^2,2t^2r)cdotl(e^t,cos t,ln tr)
O conteúdo aqui é a derivada de produto escalar de funções vetoriais, usando a regra
ddtl(u(t)cdot v(t)r)=u'(t)cdot v(t)+u(t)cdot v'(t)

Passo 2

Definimos
u(t)=l(t,t^2,2t^2r), v(t)=l(e^t,cos t,ln tr)
Então
g(t)=u(t)cdot v(t), g'(t)=u'(t)cdot v(t)+u(t)cdot v'(t)

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(t)=l(1,2t,4tr), v'(t)=l(e^t,-sin t,tfrac1tr)
Agora os produtos escalares:
u'(t)cdot v(t) =1cdot e^t+2tcos t+4tln t,
u(t)cdot v'(t) =tcdot e^t+t^2(-sin t)+2t^2cdottfrac1t =t,e^t-t^2sin t+2t
Somando esses resultados fica
g'(t) =e^t+2tcos t+4tln t + t,e^t-t^2sin t+2t =(t+1)e^t+2tcos t - t^2sin t +4tln t+2t

Resposta

g'(t) = (t+1)e^t ;+; 2tcos t ;-; t^2sin t ;+; 4tln t ;+; 2t

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