Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substituição e partes:
integral raize^x+1 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral raize^x+1,dx
usando métodos de substituição (e, se quiser, partes). O conteúdo principal aqui é fazer uma substituição que simplifique a raiz envolvendo e^x e depois integrar a função racional resultante.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = raize^x+1
Então
u^2 = e^x+1 Longrightarrow e^x = u^2 - 1
e, derivando em relação a x,
ddx(u^2) = ddx(e^x+1) ;Longrightarrow; 2u,dudx = e^x ;Longrightarrow; dx = 2ue^x,du = 2uu^2-1,du

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral raize^x+1,dx = integral u;2uu^2-1,du = integral 2u^2u^2-1,du
Agora dividimos o numerador:
u^2u^2-1 = 1 + 1u^2-1,
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integral 2u^2u^2-1,du = integral 2l(1 + 1u^2-1r),du = 2integral du + 2integral duu^2-1

Passo 4

Calculamos as duas integrais:
  1. 2integral du = 2u
  2. Para integral duu^2-1, lembramos que
integral duu^2-1 = 12lnl|u-1u+1r| + C
Multiplicando por 2 dá
2integral duu^2-1 = lnl|u-1u+1r|
Somando, obtemos a primitiva em termos de u:
2u + lnl|u-1u+1r| + C

Passo 5

Voltando a variável x com u = raize^x+1, a resposta final é
2raize^x+1 + ln!gl|raize^x+1-1raize^x+1+1gr| + C

Resposta

boxed2raize^x+1 ;+;ln!gl|raize^x+1-1raize^x+1+1gr| ;+;C

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