(
) Identifique a cônica de equação
, seus elementos e faça um esboço do seu gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para identificar a cônica de equação
determinando seus elementos (centro, semieixos, vértices, focos, excentricidade, diretrizes) e, por fim, esboçar o gráfico.
O conteúdo principal aqui é “cônicas” e a técnica que vamos usar é o completamento de quadrados para obter a forma padrão de uma elipse.
O conteúdo principal aqui é “cônicas” e a técnica que vamos usar é o completamento de quadrados para obter a forma padrão de uma elipse.
Passo 2
Começamos agrupando os termos de
e de
e completando quadrados:
Dentro dos parênteses:
Substituindo:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Da forma
vemos que é uma elipse de centro
.
Os semieixos são
Os semieixos são
Os vértices na direção
são:
e na direção
:
Passo 4
Para achar os focos usamos
logo
Como o semieixo maior fica na direção vertical, os focos são
Passo 5
A excentricidade vale
As diretrizes (linhas horizontais, pois o eixo maior é vertical) satisfazem
isto é
Passo 6
Esboço do gráfico:
– Centro em .
– Vértices horizontais em e
.
– Vértices verticais em .
– Focos em .
– Eixos alinhados aos eixos coordenados.
– Centro em
– Vértices horizontais em
– Vértices verticais em
– Focos em
– Eixos alinhados aos eixos coordenados.
Resposta
Elipse de centro
, semieixos horizontais
e verticais
, vértices em
,
,
, focos em
, excentricidade
e diretrizes
.