( 1,5 pts ) Identifique a cônica de equação 6 x^2+4 y^2-60 x+8 y+130=0, seus elementos e faça um esboço do seu gráfico.

Passo 1

O enunciado pede para identificar a cônica de equação
6x^2 + 4y^2 - 60x + 8y + 130 = 0,
determinando seus elementos (centro, semieixos, vértices, focos, excentricidade, diretrizes) e, por fim, esboçar o gráfico.
O conteúdo principal aqui é “cônicas” e a técnica que vamos usar é o completamento de quadrados para obter a forma padrão de uma elipse.

Passo 2

Começamos agrupando os termos de x e de y e completando quadrados:
6l(x^2-10xr) + 4l(y^2+2yr) + 130 = 0
Dentro dos parênteses:
x^2-10x = (x-5)^2-25, y^2+2y = (y+1)^2-1
Substituindo:
6l((x-5)^2-25r) + 4l((y+1)^2-1r) + 130 = 0
6(x-5)^2 -150 +4(y+1)^2-4 +130 = 0
6(x-5)^2 +4(y+1)^2 -24 = 0
6(x-5)^2 +4(y+1)^2 = 24
Dividindo ambos os lados por 24:
(x-5)^24 + (y+1)^26 = 1

Passo 3

Da forma
(x-5)^24 + (y+1)^26 = 1
vemos que é uma elipse de centro (5,-1).
Os semieixos são
ax = raiz4 = 2(horizontal), ay = raiz6approx2,45(vertical)
Os vértices na direção x são:
(5pm2,,-1) = (3,-1) e (7,-1),
e na direção y:
(5,,-1pmraiz6)approx(5,-1pm2,45)

Passo 4

Para achar os focos usamos
c^2 = ay^2 - ax^2 = 6 - 4 = 2,
logo
c = raiz2approx1,414
Como o semieixo maior fica na direção vertical, os focos são
l(5,,-1pmraiz2r)

Passo 5

A excentricidade vale
e = cay = raiz2raiz6 = raiztfrac13approx0,577
As diretrizes (linhas horizontais, pois o eixo maior é vertical) satisfazem
y+1 = pm aye = pmraiz6raiz2/raiz6 = pm3raiz2,
isto é
y = -1 pm 3raiz2

Passo 6

Esboço do gráfico:
– Centro em (5,-1).
– Vértices horizontais em (3,-1) e (7,-1).
– Vértices verticais em l(5,-1pmraiz6r).
– Focos em l(5,-1pmraiz2r).
– Eixos alinhados aos eixos coordenados.
r|l & 2 & bul<=t Vértice (5, -1 + raiz6) 1 & 0 & bul<=t ------bul<=t to x -1 & (3,-1) (5,-1) (7,-1) -2 & é

Resposta

Elipse de centro (5,-1), semieixos horizontais 2 e verticais raiz6, vértices em (3,-1), (7,-1), l(5,-1pmraiz6r), focos em l(5,-1pmraiz2r), excentricidade e=raiztfrac13 e diretrizes y=-1pm3raiz2.

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