Uma dívida será paga mensalmente sendo que cada vez se pagará
da dívida restante. Após quantos meses a dívida inicial terá se reduzido a menos da metade dela?
Passo 1
O enunciado diz que uma dívida inicial
é paga mensalmente, sendo que a cada mês se paga
do que resta. Queremos saber em quantos meses o saldo remanescente fica menor que a metade de
. O conteúdo aqui é sequência geométrica decrescente e desigualdade exponencial.
Passo 2
Após
meses, o valor da dívida remanescente
é dado pela razão
elevada a
:
Passo 3
Para que a dívida seja menor que a metade de
devemos ter
isto é,
Como
, podemos cancelar
e obter
Passo 4
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
Como
, ao dividir pela quantidade negativa a desigualdade se inverte, ficando
Passo 5
Usando valores aproximados
Portanto,
deve ser maior que
, e o menor número inteiro de meses que satisfaz isso é
.
Resposta
4 meses.