Uma dívida será paga mensalmente sendo que cada vez se pagará 20 % da dívida restante. Após quantos meses a dívida inicial terá se reduzido a menos da metade dela?

Passo 1

O enunciado diz que uma dívida inicial D0 é paga mensalmente, sendo que a cada mês se paga 20% do que resta. Queremos saber em quantos meses o saldo remanescente fica menor que a metade de D0. O conteúdo aqui é sequência geométrica decrescente e desigualdade exponencial.

Passo 2

Após n meses, o valor da dívida remanescente Dn é dado pela razão 1 - 0,20 = 0,80 elevada a n:
Dn = D0 times (0,8)^n

Passo 3

Para que a dívida seja menor que a metade de D0 devemos ter
Dn < 12D0,
isto é,
D0,(0,8)^n < tfrac12,D0
Como D0>0, podemos cancelar D0 e obter
(0,8)^n < 0,5

Passo 4

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
lnl((0,8)^nr) < ln(0,5)
n,ln(0,8) < ln(0,5)
Como ln(0,8)<0, ao dividir pela quantidade negativa a desigualdade se inverte, ficando
n > ln(0,5)ln(0,8)

Passo 5

Usando valores aproximados
ln(0,5)approx -0,6931, ln(0,8)approx -0,2231
ln(0,5)ln(0,8)approx -0,6931-0,2231approx 3,106
Portanto, n deve ser maior que 3,106, e o menor número inteiro de meses que satisfaz isso é n=4.

Resposta

4 meses.

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