Calcule a derivada da função dada usando a definição.
f(x)=2 x^{2}+x-1

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a derivada de f(x)=2x^{2}+x-1 usando a definição de derivada por limite. O conteúdo envolvido é a definição
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Passo 2

Primeiro vamos montar f(x+h). Substituindo x por x+h em f, temos
f(x+h)=2(x+h)^{2}+(x+h)-1.
Expandindo o quadrado,
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2},
então
f(x+h)=2\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)+x+h-1 =2x^{2}+4xh+2h^{2}+x+h-1.

Passo 3

Agora calculamos o numerador da definição:
f(x+h)-f(x) =\bigl(2x^{2}+4xh+2h^{2}+x+h-1\bigr)-\bigl(2x^{2}+x-1\bigr).
Ao subtrair, os termos 2x^{2}, x e -1 se cancelam, restando
f(x+h)-f(x)=4xh+2h^{2}+h.
Fatorando h,
f(x+h)-f(x)=h\,(4x+2h+1).

Passo 4

Substituindo na definição da derivada e simplificando h, fica
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{h\,(4x+2h+1)}{h} =4x+2h+1.
Agora tomamos o limite quando h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to0}(4x+2h+1)=4x+1.

Resposta

A derivada é f'(x)=4x+1.

Exercícios relacionados