Encontre os pontos de inflexão e discuta a concavidade do gráfico da função.
f(x)=\frac{x}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede os pontos de inflexão e a concavidade do gráfico da função
f(x) = \frac{x}{x+1}
Seu domínio é \mathbb{R}\setminus\{-1\}. Para isso, vamos calcular as derivadas primeira e segunda e analisar o sinal de f''(x).

Passo 2

Usamos a regra do quociente para obter f'(x). Para
f(x) = \frac{x}{x+1},
temos
f'(x) = \frac{(x+1)\cdot1 - x\cdot1}{(x+1)^{2}} = \frac{x+1 - x}{(x+1)^{2}} = \frac{1}{(x+1)^{2}}.

Passo 3

Derivando f'(x) = (x+1)^{-2}, obtemos
f''(x) = -2\,(x+1)^{-3} = -\frac{2}{(x+1)^{3}}.

Passo 4

Analisamos o sinal de f''(x):
  • Em x<-1, temos x+1<0 e, portanto, (x+1)^{3}<0. Assim f''(x) = -\frac{2}{(x+1)^{3}}>0,logo f é côncava para cima em (-\infty,-1).
  • Em x>-1, temos x+1>0 e, portanto, (x+1)^{3}>0. Assim f''(x) = -\frac{2}{(x+1)^{3}}<0,logo f é côncava para baixo em (-1,\infty).

Passo 5

Um ponto de inflexão ocorreria onde f''(x)=0 ou onde f'' muda de sinal em um ponto do domínio. Aqui
f''(x) = -\frac{2}{(x+1)^{3}}
nunca se anula e a única mudança de sinal ocorre em x=-1, mas esse ponto não pertence ao domínio de f. Portanto não há ponto de inflexão.

Resposta

Não há pontos de inflexão.
A função é côncava para cima em (-\infty,-1) e côncava para baixo em (-1,\infty).

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