Encontre os pontos de inflexão e discuta a concavidade do gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede os pontos de inflexão e a concavidade do gráfico da função
Seu domínio é
. Para isso, vamos calcular as derivadas primeira e segunda e analisar o sinal de
.
Passo 2
Usamos a regra do quociente para obter
. Para
temos
Passo 3
Derivando
, obtemos
Passo 4
Analisamos o sinal de
:
- Em
, temos e, portanto, . Assim logo é côncava para cima em . - Em
, temos e, portanto, . Assim logo é côncava para baixo em .
Passo 5
Um ponto de inflexão ocorreria onde
ou onde
muda de sinal em um ponto do domínio. Aqui
nunca se anula e a única mudança de sinal ocorre em
, mas esse ponto não pertence ao domínio de
. Portanto não há ponto de inflexão.
Resposta
Não há pontos de inflexão.
A função é côncava para cima em e côncava para baixo em
.
A função é côncava para cima em