Determine d^{2} y / d x^{2}.
y=\frac{3 x+1}{5 x}

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de
y = \frac{3x + 1}{5x},
ou seja, precisamos calcular \frac{d^2y}{dx^2}. O conteúdo é derivação de funções do tipo racional; vamos simplificar a expressão e usar a regra de potência para derivar.

Passo 2

Para facilitar, simplificamos y transformando em soma de potências de x:
y = \frac{3x + 1}{5x} = \frac{3}{5} + \frac{1}{5}\,x^{-1}.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada aplicando a regra de potência em cada termo:
\frac{dy}{dx} = 0 + \frac{1}{5}\cdot(-1)\,x^{-2} = -\frac{1}{5}\,x^{-2} = -\frac{1}{5x^2}.

Passo 4

Derivamos novamente para obter a segunda derivada:
\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{5}\cdot(-2)\,x^{-3} = \frac{2}{5}\,x^{-3} = \frac{2}{5x^3}.

Resposta

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{5x^3}.

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