Determine d^{2} y / d x^{2}.
y=\left(x^{3}-4\right)(2 x+3)

Passo 1

O enunciado define a função
y = (x^{3} - 4)\,(2x + 3)
e pede a segunda derivada \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.
O que vamos usar:
  1. Regra do produto para obter y'.
  2. Regra da potência para derivar termos polinomiais.

Passo 2

Aplicando a regra do produto y = u\cdot v com u = x^{3}-4 e v = 2x+3, temos
y' = u'\,v + u\,v'.
Como u' = 3x^{2} e v' = 2, obtemos
y' = 3x^{2}(2x+3) + (x^{3}-4)\,2.
Agora simplificamos:
y' = 6x^{3} + 9x^{2} + 2x^{3} -8 = 8x^{3} + 9x^{2} - 8.

Passo 3

Para a segunda derivada, derivamos termo a termo y' = 8x^{3} + 9x^{2} - 8 usando a regra da potência:
\frac{d}{dx}(8x^{3}) = 24x^{2},\quad \frac{d}{dx}(9x^{2}) = 18x,\quad \frac{d}{dx}(-8) = 0.
Logo,
y'' = 24x^{2} + 18x.

Resposta

\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 24x^{2} + 18x.

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