Para as funções a seguir, ache os pontos críticos de
(se houver), encontre o(s) intervalo(s) aberto(s) onde a função seja crescente ou decrescente e aplique o Teste da Primeira Derivada para identificar todos os extremos relativos.
Passo 1
O enunciado pede: Para a função
achar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento e extremos relativos usando o Teste da Primeira Derivada.
Passo 2
O domínio de
é todos os reais com
. Vamos calcular a derivada usando a regra do quociente:
Passo 3
Simplificando o numerador:
logo
Passo 4
Os pontos onde
são
e
. Além disso
não existe em
, mas esse ponto não pertence ao domínio. Logo, os pontos críticos de
são
e
.
Passo 5
O sinal de
depende de
pois
. Fazendo o estudo de sinais:
- Em
: e . - Em
e : sinais opostos . - Em
: e .
Portanto
é crescente em
e decrescente em
.
Passo 6
Pelo Teste da Primeira Derivada:
- Em
, passa de positivo para negativo máximo relativo. - Em
, passa de negativo para positivo mínimo relativo.
Calculando os valores:
Resposta
Pontos críticos:
e
.
Crescente em .
Decrescente em .
Máximo relativo em .
Mínimo relativo em .
Crescente em
Decrescente em
Máximo relativo em
Mínimo relativo em