Para as funções a seguir, ache os pontos críticos de f (se houver), encontre o(s) intervalo(s) aberto(s) onde a função seja crescente ou decrescente e aplique o Teste da Primeira Derivada para identificar todos os extremos relativos.
f(x)=\frac{x^{2}-2 x+1}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede: Para a função f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x+1} achar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento e extremos relativos usando o Teste da Primeira Derivada.

Passo 2

O domínio de f é todos os reais com x\neq -1. Vamos calcular a derivada usando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x+1)\cdot1}{(x+1)^2}.

Passo 3

Simplificando o numerador:
(2x-2)(x+1)-(x^2-2x+1)=2x^2+2x-2x-2 -x^2+2x-1 =x^2+2x-3,
logo
f'(x)=\frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}=\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2}.

Passo 4

Os pontos onde f'(x)=0 são x-1=0\Rightarrow x=1 e x+3=0\Rightarrow x=-3. Além disso f' não existe em x=-1, mas esse ponto não pertence ao domínio. Logo, os pontos críticos de f são x=-3 e x=1.

Passo 5

O sinal de f'(x) depende de (x-1)(x+3) pois (x+1)^2>0. Fazendo o estudo de sinais:
  • Em (-\infty,-3): (x-1)<0 e (x+3)<0 \Rightarrow f'>0.
  • Em (-3,-1) e (-1,1): sinais opostos \Rightarrow f'<0.
  • Em (1,\infty): (x-1)>0 e (x+3)>0 \Rightarrow f'>0.
Portanto f é crescente em (-\infty,-3)\cup(1,\infty) e decrescente em (-3,-1)\cup(-1,1).

Passo 6

Pelo Teste da Primeira Derivada:
  • Em x=-3, f' passa de positivo para negativo \Rightarrow máximo relativo.
  • Em x=1, f' passa de negativo para positivo \Rightarrow mínimo relativo.
Calculando os valores:
f(-3)=\frac{(-3)^2-2(-3)+1}{-3+1}=\frac{9+6+1}{-2}=-8, \qquad f(1)=\frac{1-2+1}{1+1}=0.

Resposta

Pontos críticos: x=-3 e x=1.
Crescente em (-\infty,-3)\cup(1,\infty).
Decrescente em (-3,-1)\cup(-1,1).
Máximo relativo em \bigl(-3,-8\bigr).
Mínimo relativo em \bigl(1,0\bigr).

Exercícios relacionados